Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
33
Takjakpoprzednio,ustalmy(x,t)∈Rn+1i,zainspirowanirachunkiemprzedstawionym
wyżej,połóżmyz(s):=u(x+sb,t+s)dlas∈R.Wtedy
z(s)=Du(x+sb,t+s)·b+ut(x+sb,t+s)=f(x+sb,t+s).
˙
Zatem
u(x,t)–g(x–bt)=z(0)–z(–t)=∫
–t
0
z(s)ds
˙
=∫
–t
0
f(x+sb,t+s)ds
=∫
0
t
f(x+(s–t)b,s)ds;
stądzaśwynika,że
(5)
u(x,t)=g(x–tb)+∫
0
t
f(x+(s–t)b,s)ds
(x∈Rn,t≥0)
jestrozwiązaniemzagadnieniapoczątkowego(4).
Skorzystamypóźniejztegowzoru,byrozwiązaćjednowymiarowerównaniefalowe
wpunkcie2.4.1.
Uwaga.Zauważmy,żerozwiązania(3)i(5)znaleźliśmy,przekształcającwistocierów-
naniaróżniczkowecząstkowewrównaniaróżniczkowezwyczajne.Taproceduratoszcze-
gólnyprzypadekmetodycharakterystyk,którąrozwiniemywpodrozdziale3.2.
Π
2.2.RÓWNANIELAPLACE’A
Wśródwszystkichrównańróżniczkowychcząstkowychdonajważniejszychnależą
bezwątpieniarównanieLaplace’a
(1)
irównaniePoissona
(2)
∆u=0
–∆u=f.∗
Zarównowrównaniu(1),jakiw(2)x∈U,gdzieU⊂Rnjestdanymzbiorem
otwartym,natomiastniewiadomąjestfunkcjau:¯
U→R,u=u(x).Wrównaniu(2)
danajestteżfunkcjaf:U→R.ZgodniezdefinicjązdodatkuA.3laplasjanfunkcji
ujestdanywzorem∆u=Σ
n
i=1ux
ixi.
DEFINICJA.FunkcjęuklasyC2spełniającą(1)nazwiemyfunkcjąharmoniczną.
∗Wolęzapisywać(2)zeznakiemminus,gdyżjesttozgodnezesposobemoznaczaniaogólnych
operatoróweliptycznychdrugiegorzęduwrozdziale6.
