Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.3.Równanieprzewodnictwacieplnego
Zatemfunkcjaφjeststała;mamy
φ(r)=lim
t→0
φ(t)=u(0,0)lim
t→0
tn∫∫
1
E(t)
|y|2
s2
dyds=4u(0,0),
gdyż
tn∫∫
1
E(t)
|y|2
s2
dyds=∫∫
E(1)
|y|2
s2
dyds=4.
Szczegółyostatniegorachunkupominiemy.
67
Π
2.3.3.WŁASNOŚCIROZWIĄZAŃ
a.Mocnazasadamaksimumijednoznaczność
Najpierwwykorzystamywłasnośćwartościśredniej,bypodaćkrótkidowódmocnej
zasadymaksimum.
TWIERDZENIE4(Mocnazasadamaksimumdlarównaniaprzewodnictwacieplnego).
Załóżmy,żeu∈C2
1(UT)∩C(¯
UT)jestrozwiązaniemrównaniaprzewodnictwacieplnego
wUT.
(i)Wtedy
max
UT
¯
u=max
PT
u.
(ii)Ponadto,jeśliUjestzbioremspójnymiistniejepunkt(x0,t0)∈UTtaki,że
u(x0,t0)=max
UT
¯
u,
to
ujeststaław¯
Ut
0.
Stwierdzenie(i)tozasadamaksimumdlarównaniaprzewodnictwacieplnego,a(ii)
tomocnazasadamaksimum(rys.2.3).Wobuprzypadkachmożna„max”zastąpić„min”.
Uwaga.Jeślizatemfunkcjauosiągaswąwartośćnajwiększą(albonajmniejszą)wpunk-
ciewewnętrznym,todlawszystkichmniejszychtfunkcjaujeststała.Jesttozgodne
znasząumową,żezmiennatoznaczaczas;rozwiązaniebędziestałenaodcinku[0,t0],
oilewarunkipoczątkoweibrzegowesąstałe.Dlat>t0rozwiązaniemożesięzmienić,
jeślizmieniąsięwarunkibrzegowe.Nazmianęwarunkówbrzegowychrozwiązanienie
zareagujejednakdopóty,dopókiowazmiananienastąpi.
Zwróćmyuwagę,żechoćwszystkotojestoczywistezintuicyjnego,fizycznego
punktuwidzenia,toprzecieżtakieodczucianiestanowiąjeszczedowodu.Zadaniepolega
natym,bywydedukowaćtewłasnościzrównania.
Π
