Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.3.Równanieprzewodnictwacieplnego
57
dowolnympodobszaremogładkimbrzegu,totempo,wjakimzmieniasięilośćdanej
substancjiwypełniającaV,jestrównełącznemuprzepływowisubstancjiprzez∂V:
dt∫
d
V
udx=–∫
∂V
F·νdS,
gdzieFjestgęstościąstrumieniaprzepływu.Zatem
(3)
ut=–divF,
wobecdowolnościV.WwielusytuacjachwektorFjestproporcjonalnydogradientu
funkcjiu,leczprzeciwnieskierowany(gdyżprzepływdokonujesięzobszarówowięk-
szymstężeniudoobszarówomniejszymstężeniu):
F=–aDu
(a>0).
Podstawiająctęzależnośćdo(3),otrzymujemyrównanie
ut=adiv(Du)=a∆u,
któredlaa=1jestwłaśnierównaniemprzewodnictwacieplnego.3
RównanieprzewodnictwacieplnegopojawiasiętakżewbadaniachprocesuWienera
(ruchówBrowna).
Π
2.3.1.ROZWIĄZANIEPODSTAWOWE
a.Wyprowadzenierozwiązaniapodstawowego
Jakwspomnieliśmywpunkcie2.2.1,ważnypoczątkowyetapbadaniadowolnego
równaniapolegaczęstonatym,byznaleźćkilkarozwiązańszczególnych.
Zauważmy,żewrównaniuprzewodnictwacieplnegowystępujejednapochodna
względemczasutidwiepochodnewzględemzmiennychprzestrzennychxi(i=1,...
...,n).Wynikastąd,żegdyfunkcjaujestrozwiązaniem(1),tou(λx,λ2t),gdzieλ∈R
teżjestrozwiązaniem.Toskalowaniewskazuje,żestosunekr
t(r=|x|)odgrywawrów-
2
naniuprzewodnictwacieplnegoważnąrolę;możnawięcwpaśćnapomysł,byszukać
rozwiązańrównania(1)postaciu(x,t)=v(r
t)=v(
2
|x|2
t)(t>0,x∈Rn),gdzievjest
nieznanąfunkcjąjednejzmiennej.
Choćtametodadoprowadziłabynaswkońcudocelu(patrzzadanie11),szybsze
będzieposzukanierozwiązańniecoinnejpostaci,
(4)
u(x,t)=
tα
1
v(
tβ)(x∈Rn,t>0).
x
Stałeα,βifunkcjęv:Rn→Rtrzebawyznaczyć.Dochodzimydowzoru(4),poszu-
kująctakichrozwiązańurównaniaprzewodnictwacieplnego,któresąniezmienniczeze
względunaafinicznezamianyzmiennych
u(x,t)l→λαu(λβx,λt).
3Bardzoczęstonazwy„równanieprzewodnictwacieplnego”używasiętakżedlaa/=1.Wzastoso-
waniachzwiązanychzrachunkiemprawdopodobieństwanaturalnymwyboremjesta=1
2(przyp.tłum.).
