Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
54
2.Czteryważnerównanialiniowe
TWIERDZENIE15(WzórPoissonadlakuli).Załóżmy,żeg∈C(∂B(0,r))iokreślmy
funkcjęuwzorem(45).Wówczas
(ii)∆u=0
(i)u∈C∞(B0(0,r)),
wB0(0,r),
aponadto
(iii)
lim
u(x)=g(x0)dlakażdegopunktux0∈∂B(0,r).
x→x0
x∈B0(0,r)
Dowódjestpodobnydodowodutwierdzenia14.Pozostawiamygojakoćwiczenie
dlaczytelników.
2.2.5.METODYENERGETYCZNE
Naszaanalizafunkcjiharmonicznychopierałasiędotychczasgłównienadośćkon-
kretnychwzorach,wktórychwykorzystywałosięrozwiązaniepodstawowe,funkcjęGre-
enaitp.Wtympunkciezilustrujemytakzwanemetody„energetyczne”,polegającena
badaniunormrozmaitychwyrażeńwprzestrzeniL2.Pojawiąsięprzytejokazjiidee
stanowiącezapowiedźteorii,którąrozwiniemydalej,wczęściachIIiIII.
a.Jednoznaczność
Rozważmynajpierwzagadnieniebrzegowe
(46)
–∆u=fwU,
u=g
na∂U.
Wpunkcie2.2.3pokazaliśmy,żejednoznacznośćrozwiązańwynikazzasadymak-
simum,natomiastterazzaproponujemyinny,prostydowód.Załóżmy,żeUjestotwarty,
ograniczonyimabrzeg∂UklasyC1.
TWIERDZENIE16(Jednoznaczność).Istniejeconajwyżejjednorozwiązanieu∈
C2(¯
U)zagadnienia(46).
Dowód.Załóżmy,że˜
ujestinnymrozwiązaniem.Niechw:=u–˜
u.Wtedy∆w=0w
U,awięccałkującprzezczęści,otrzymujemy
0=–∫
U
w∆wdx=∫
U
|Dw|2dx.
ZatemDw≡0wU,aponieważw=0na∂U,wnioskujemy,żew=u–˜
u≡0
wU.
Π
b.ZasadaDirichleta
Pokażemyteraz,żerozwiązaniezagadnieniabrzegowego(46)dlarównaniaPoissona
możnascharakteryzowaćjakopunkt,wktórymodpowiednifunkcjonałosiągaminimum.
