Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
40
2.Czteryważnerównanialiniowe
Dowód.Jeśli∆u/≡0,toistniejekulaB(x,r)⊂Utaka,że(powiedzmy)∆u>0
wewnątrzB(x,r).Wtedyjednak,biorącφjakwyżej,otrzymamy
0=φ,(r)=
n
r
–
∫
B(x,r)
∆u(y)dy>0,
tozaśjestsprzeczność.
Π
2.2.3.WŁASNOŚCIFUNKCJIHARMONICZNYCH
Przekonamysięteraz,żeztwierdzenia2wypływacałyszereginteresującychwnio-
skówdotyczącychfunkcjiharmonicznych.Będziemywdalszymciąguzakładać,żezbiór
U⊂Rnjestotwartyiograniczony.
a.Mocnazasadamaksimum,jednoznaczność
TWIERDZENIE4(Mocnazasadamaksimum).Załóżmy,żefunkcjau∈C2(U)∩C(¯
U)
jestharmonicznawewnątrzU.
(i)Wtedy
max
U
¯
u=max
∂U
u.
(ii)Ponadto,jeśliUjestspójnyiistniejepunktx0∈Utaki,że
u(x0)=max
U
¯
u,
to
ujeststaławU.
Stwierdzenie(i)tozasadamaksimumdlarównaniaLaplace’a,a(ii)tomocnazasada
maksimum.Zastępującufunkcją–u,otrzymamypodobnestwierdzeniaz„min”zamiast
„max”.
Dowód.Przypuśćmy,żeistniejepunktx0∈Utaki,żeu(x0)=M:=max¯
Uu.Stosując
własnośćwartościśredniejdla0<r<dist(x0,∂U),otrzymujemy
M=u(x0)=–
∫
B(x0,r)
udy≤M.
Ponieważrównośćzachodzijedyniewtedy,gdyu≡MwewnątrzB(x0,r),więcwi-
dzimy,żeu(y)=Mdlawszystkichy∈B(x0,r).Zatemzbiór{x∈U|u(x)=M}jest
jednocześnieotwartyidomknięty(jakopodzbiórU),awięcjestrównyU,gdyUjest
zbioremspójnym.Todowodzipunktu(ii),zktóregowynika(i).
Π
Uwaga.Zmocnejzasadymaksimumwynikawszczególności,żejeśliUjestspójny
iu∈C2(U)∩C(¯
U)spełnia
∆u=0wU,
u=g
na∂U,
