Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
24
1.Wprowadzenie
mądrzejestdowodzić,iżzagadnieniejestdobrzepostawionewodpowiedniodobranej
klasierozwiązańsłabychlubuogólnionych.
Jakzauważyliśmywcześniej,wprzypadkuwielurównańróżniczkowychcząstko-
wychniczegolepszegoniemożnaosiągnąć.Wprzypadkuinnychrównańmożemymieć
nadzieję,żenaszesłaberozwiązaniaokażąsięwkońcuwystarczającogładkie,byuznać
jezarozwiązaniaklasyczne.Toprowadzidopytańoregularnośćsłabychrozwiązań.
Zobaczymy,żeczęstodziejesiętak,iżsamoistnieniesłabychrozwiązańwynikaze
stosunkowoprostychoszacowań,uzupełnionychideamianalizyfunkcjonalnej,regular-
nośćzaś,jeślimamiejsce,opierasięnawieluzawiłychnierównościachcałkowychi
różniczkowych.
Pozwólmysobiewtymmomenciejasnostwierdzić,żegdyzostawimyjużzasobą
częśćI(rozdziały2–4),skupimysięprzedewszystkimnamatematycznymdowodzeniu
istnieniarozwiązańrozmaitychtypówrównańróżniczkowychcząstkowych;nawzorach
naterozwiązaniabędzienammniejzależeć.Możesięwydawać,żenaszwysiłekjest
próżnylubprzynajmniejźleskierowany,lecztaknaprawdęmatematycysąjakteologowie
—istnienieuznajązapierwszorzędnyatrybuttego,cobadają.Wprzeciwieństwiedo
teologówniemusząjednakopieraćsiętylkonawierze.
1.3.3.TYPOWETRUDNOŚCI
Otogarśćniezbytjasnych,leczogólnychzasad,októrychzwyklewartopamiętać:
1.Równanianieliniowesątrudniejszeodliniowych;wistocie,imbardziejnielinio-
wośćdotyczypochodnychnajwyższegorzędu,tymtrudniejszejestrównanie.
2.Równaniawyższychrzędówsątrudniejszeodrównańniższychrzędów.
3.Układyrównańsątrudniejszeniżpojedynczerównania.
4.Równaniaróżniczkowecząstkowezdużąliczbązmiennychniezależnychsątrud-
niejszeniżrównaniazniewielomazmiennyminiezależnymi.
5.Rozwiązańwiększościrównańróżniczkowychcząstkowychniemożnazapisaćza
pomocąjawnychwzorów.
Odkażdejztychregułistniejąważnewyjątki.
1.4.PRZEGLĄDTREŚCI
Niniejszypodręcznikjestpodzielonynatrzyczęści.
CZĘŚĆI:Przykładowewzoryrozwiązań
Omówimytuważnerównaniaróżniczkowecząstkowe,którychrozwiązaniamożna
wpewnychsytuacjachwyrazić(mniejlubbardziej)jawnymiwzorami.Zaczniemyod
bezpośrednichwzorównarozwiązaniapewnychrównańliniowych,anastępnieprzej-