Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.3.Równanieprzewodnictwacieplnego
69
(xi–1,ti–1)z(xi,ti)(gdziei=1,...,m),sązawartewUT.Namocypierwszejczęści
dowodu,u≡Mnakażdymtakimodcinku,awięcu(x,t)=M.
Π
Uwaga.Zmocnejzasadymaksimumwynika,żejeślizbiórUjestspójny,au∈C2
1(UT)∩
C(¯
UT)spełnia
[
ł
ut–∆u=0
u=0
wUT,
na∂U×[0,T],
l
u=g
naU×{t=0},
gdzieg≥0,toujestdodatniawszędziewUT,oilegjestdodatnianapewnym
podzbiorzezbioruU.Jesttokolejnailustracjatego,żezaburzeniarozchodząsięz
nieskończonąprędkością.
Π
Ważnymzastosowaniemzasadymaksimumjestnastępującetwierdzenieojedno-
znaczności.
TWIERDZENIE5(Jednoznacznośćwobszarachograniczonych).Niechg∈C(PT),
f∈C(UT).Wtedyzagadnieniepoczątkowo-brzegowe
ut–∆u=fwUT,
u=g
naPT,
maconajwyżejjednorozwiązanieu∈C2
1(UT)∩C(¯
UT).
(22)
Dowód.Jeśliui˜
usądwomarozwiązaniamizagadnienia(22),tostosujemytwierdzenie4
dofunkcjiw:=±(u–˜
u).
Π
NastępnieuogólnimypowyższywyniknazagadnienieCauchy’ego,tzn.zagadnienie
początkowedlaU=Rn.Ponieważniejesttoobszarograniczony,więcmusimynałożyć
pewneograniczenianatempowzrosturozwiązańdladużych|x|.
TWIERDZENIE6(ZasadamaksimumdlazagadnieniaCauchy’ego).Załóżmy,żeu∈
C2
1(Rn×(0,T])∩C(Rn×[0,T])jestrozwiązaniemzagadnienia
(23)
ispełniawarunek
(24)
ut–∆u=0wR
u=g
naRn×{t=0}
n×(0,T),
u(x,t)≤Aea|x|
2
(x∈Rn,0≤t≤T)
dlapewnychstałychA,a>0.Wówczas
Rn×[0,T]
sup
u=sup
Rn
g.
Dowód.1.Załóżmynajpierw,że
(25)
4aT<1;