Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
42
2.Czteryważnerównanialiniowe
=
en
1
u(x)∫
0
e
n(
r
e)nα(n)rn–1dr
namocy(16)
=u(x)∫
B(0,e)
nedy=u(x).
Zatemue≡uwUe,awięcu∈C∞(Ue)dlakażdegoe>0.
Π
c.Lokalneoszacowaniafunkcjiharmonicznych
Wykorzystamyterazwłasnośćwartościśredniejdostarannegooszacowaniaróżnych
pochodnychcząstkowychfunkcjiharmonicznej.Precyzyjnastrukturatychoszacowań
przydasięnampóźniej,gdybędziemydowodzićanalitycznościfunkcjiharmonicznych.
TWIERDZENIE7(Oszacowaniapochodnych).Załóżmy,żeujestharmonicznawU.
Wtedy
(18)
|Dαu(x0)|≤
rn+k
Ck
uL1(B(x
0,r))
dlakażdejkuliB(x0,r)⊂Uikażdegowielowskaźnikaαdługości|α|=k,przyczym
(19)
C0=
α(n)
1
,Ck=
(2n+1nk)k
α(n)
(k=1,...).
Dowód.1.Udowodnimy(18)i(19)przezindukcjęwzględemk.Przypadekk=0wy-
nikanatychmiastzwłasnościwartościśredniej(16).RóżniczkującrównanieLaplace’a,
przekonujemysię,żeux
i(i=1,...,n)jestfunkcjąharmoniczną.Zatem
|ux
i(x0)|=
ł
ł
ł
ł
∫
–
B(x0,r/2)
ux
idx
ł
ł
ł
ł
(20)
=
ł
ł
ł
ł
α(n)rn∫
2n
∂B(x0,r/2)
uvidS
ł
ł
ł
ł
≤
2n
r
uL∞(∂B(x
0,r/2)).
Jeślix∈∂B(x0,r/2),toB(x,r/2)⊂B(x0,r)⊂U,awięc
|u(x)|≤
α(n)
1
r
2
n
uL1(B(x
0,r))
namocy(18)i(19)dlak=0.Łączącpowyższenierówności,wnioskujemy,że
|Dαu(x0)|≤
2n+1n
α(n)
rn+1
1
uL1(B(x
0,r)),
gdy|α|=1.Todowodzi(18)i(19)dlak=1.
2.Załóżmyteraz,żek≥2,a(18)i(19)zachodządlawszystkichkulwUiwszyst-
kichwielowskaźników,którychdługośćnieprzekraczak–1.UstalmykulęB(x0,r)⊂U
