L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
56
2.Czteryważnerównanialiniowe
Ponieważu+tv∈Adlakażdegot,więcfunkcjajednejzmienneji(·)maminimum
wzerze,azatem
i,(0)=0
,=
dt,
d
oilepochodnaistnieje.Mamyjednak
i(t)=∫
U
1
2
|Du+tDv|2–(u+tv)fdx
=∫
U
1
2
|Du|2+tDu·Dv+
t2
2
|Dv|2–(u+tv)fdx.
Stądoczywiście
0=i,(0)=∫
U
Du·Dv–vfdx=∫
U
(–∆u–f)vdx.
Tatożsamośćzachodzidlakażdejfunkcjiv∈C∞
c(U),awięc–∆u=fwU.
Π
ZasadaDirichletatoprzykładzastosowaniarachunkuwariacyjnegodorównania
Laplace’a.Więcejnatentematwrozdziale8.
2.3.RÓWNANIEPRZEWODNICTWA
CIEPLNEGO
Zajmiemysięterazrównaniemprzewodnictwacieplnego
(1)
ut–∆u=0
iniejednorodnymrównaniemprzewodnictwacieplnego
(2)
ut–∆u=f,
uzupełniającjeodpowiednimiwarunkamipoczątkowymiibrzegowymi.Zakładamy,że
t>0ix∈U,gdzieU⊂Rnjestzbioremotwartym.Niewiadomąjestfunkcjau:
U×[0,∞)→R,u=u(x,t),alaplasjan∆obliczamywzględemzmiennychprze-
¯
strzennychx=(x1,...,xn):∆u=∆xu=Σ
n
i=1ux
ixi.Wrównaniu(2)funkcja
f:U×[0,∞)→Rjestdana.
Prowadzićnasbędziezasada,żekażdetwierdzenieofunkcjachharmonicznychma
swój(naogółbardziejskomplikowany)odpowiednik,dotyczącyrozwiązańrównania
przewodnictwacieplnego.Wzwiązkuztymprzebiegnaszejdyskusjibędziezbliżony
doomówieniateoriirównaniaLaplace’a.
Interpretacjafizyczna.Równanieprzewodnictwacieplnego,zwanetakżerówna-
niemdyfuzji,wtypowychzastosowaniachopisuje,wjakisposóbzmieniasięwczasie
gęstośćupewnejwielkości,takiejjakciepło,stężeniechemiczneitp.JeśliV⊂Ujest