Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
68
2.Czteryważnerównanialiniowe
Rys.2.3.Mocnazasadamaksimumdlarównaniaprzewodnictwacieplnego
Dowód.1.Przypuśćmy,żeistniejepunkt(x0,t0)∈UTtaki,żeu(x0,t0)=M:=
max¯
UTu.Wtedydlawszystkichdostateczniemałychr>0„kulacieplna”E(x0,t0;r)⊂
UT;zatemzpoprzedniegotwierdzeniaotrzymujemy
M=u(x0,t0)=
4rn∫∫
1
E(x0,t0;r)
u(y,s)
|x0–y|2
(t0–s)2
dyds≤M,
gdyż
1=
4rn∫∫
1
E(x0,t0;r)
|x0–y|2
(t0–s)2
dyds.
Równośćzachodzijedyniewtedy,gdyujesttożsamościoworównaMwewnętrzu
E(x0,t0;r).Zatem
u(y,s)=M
dlawszystkich(y,s)∈E(x0,t0;r).
PoprowadźmywUTdowolnyodcinekL,łączący(x0,t0)zjakimśinnympunktem
(y0,s0)∈UTowspółrzędnejs0<t0.Niech
r0:=min{s≥s0|u(x,t)=Mdlawszystkichpunktów(x,t)∈L,s≤t≤t0}.
Ponieważujestciągła,więcminimumjestosiągane.Przypuśćmy,żer0>s0.Wtedy
u(z0,r0)=Mdlapewnegopunktu(z0,r0)∈L∩UT,awięcu≡MnaE(z0,r0;r)dla
dostateczniemałychr>0.Dladostateczniemałegoσ>0„kulacieplna”E(z0,r0;r)
zawieraodcinekL∩{r0–σ≤t≤r0},więcmamysprzeczność.Zatemr0=s0,co
oznacza,żeu≡MnaL.
2.Ustalmyterazdowolnypunktx∈Uidowolnąchwilę0≤t<t0.Istniejąwtedy
punkty{x0,x1,...,xm=x}takie,żeodcinki,którewRnłącząxi–1zxi,sązawarte
wUdlai=1,...,m.(WynikatozespójnościzbioruU:podzbiórtychpunktówU,
któremożnapołączyćzx0pewnąłamaną,jestniepusty,otwartyidomkniętywU).
Wybierzmyterazt0>t1>...>tm=t.WtedyodcinkiwRn+1,łączącepunkt
