Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.12.Stabilne,linioweukładydynamiczne
20120Stabilne,linioweukładydynamiczne
Punktyrównowagi
47
Punkt
jestpunktemrównowagiautonomicznegoukładuliniowegoopisanego
równaniem(2.6),czylitakimpunktem,wktórym
Jeśliwektorstanu
znajdziesięwtympunkcie,tojużwnimpozostanie.Innymipunktamirównowagimogą
byćtepunkty
wprzestrzenistanów,wktórychjestspełnionerównanie
(2.68)
Jesttomożliwetylkowtedy,gdy0jestwartościąwłasnąmacierzystanu,a
odpowia-
dającymjejwektoremwłasnym.Zbiórpunktówrównowagijestwówczaspodprzestrzenią
liniowąrozpiętąnawszystkichliniowoniezależnychwektorachspełniającychrównanie(2.68)
-naprzykład,jeżeli0jestpojedyncząwartościąwłasną
,tozbiórpunktówrównowagi
jestprostąwyznaczonąprzezdowolny,niezerowywektor
spełniającyrównanie(2.68),
jeżeli
jestmacierzazerową,tocałaprzestrzeństanujestzbiorempunktówrównowagi.
Jeżelijednakmacierzstanuniemazerowychwartościwłasnych,topunktrównowagijest
tylkojedenijestnim
.
Stabilnośćukładuliniowego
Stabilnośćukładuliniowegojestcechą,któraopisujejegozachowanieprzyodchyleniu
odpunkturównowagi
Wprzypadkuukładównieliniowychpunktówrównowagi
możebyćwięcejniżjedenimówisięostabilnościpunkturównowagi(lubogólniej-roz-
wiązaniarównaniaróżniczkowegoopisującegoruchwektorastanu).Wprzypadkuukła-
duliniowegostabilnośćrozwiązania
nazywasięstabilnościąukładu.
Układliniowynazywanyjeststabilnym,jeślidladowolnegowarunkupoczątkowego
trajektoriaswobodna
rozpoczynającasięw
dążydo0dla
.
Stabilnośćukładuzdiagonalizowalnąmacierząstanu
Wprzypadkudiagonalizowalnejmacierzystanupostaćmodalnatakiejtrajektoriijest
opisanawynikającąz(2.36)zależnością
Koniecznymidostatecznymwarunkiemzanikaniawszystkichfunkcjiwykładniczych
w(2.69),czylistabilnościukładu,jestto,abywszystkiewartościwłasnemacierzystanu
spełniaływarunek
(2.69)
(2.70)
