Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.Modeleformalnesystemówsterowania
2.3.3.Opis’’wejście–wyjście’’wformieoperatorowej
Zależnośćpomiędzysygnałemwejściowymawyjściowymobiektumożnarównież
opisaćzapomocąoperatoraΦ,któryfunkcjiu(t)przyporządkowujefunkcjęy(t):
y(t)=Φ[u(t)].
(2.9)
Naprzykładdlajednowymiarowegoobiektuliniowego(l=p=1)przyzerowych
warunkachpoczątkowychzależność(2.9)przybierapostać
y(t)=
∫
o
t
k
i
(t,r)u(r)dr,
(2.10)
gdziek
Dlaobiektówliniowychostałychparametrachdorozpatrywanegotypumodeli
i
(t,r)jestfunkcjąwagi(charakterystykączasową)tegoobiektu.
należyopiszapomocątransmitancjioperatorowej.Podokonaniuobustronnejtransfor-
macjioperatorowejobustronrównania(2.8),przyzałożeniuzerowychwarunków
początkowych,otrzymujemy
(
Ism+
m—ł
i=o
∑
A
i
si
)
Y(s)=
(
j=o
∑
υ
B
j
sj
)
U(s),
gdzieIjestmacierząjednostkową,natomiastY(s)iU(s)oznaczajątransformacje
operatoroweodpowiedniowektorówy(t)iu(t).Zostatniegorównaniaotrzymujemy
Y(s)=K(s)U(s),
gdzie
K(s)=
(
Ism+
m—ł
i=o
∑
A
i
si
)
—łυ
j=o
∑
B
j
sj.
MacierzK(s)nazywamytransmitancjąoperatorowąobiektu.Jejelementamisąfunkcje
wymierneods.WszczególnościdlaobiektujednowymiarowegoK(s)jestjednątaką
funkcją,tzn.
K(s)=
U(s)
Y(s)
,
gdzieY(s)iU(s)sąwielomianami.Wrealnychsystemachstopieńlicznikaniemożebyć
większyodstopniamianownika.Jesttotzw.warunekfizykalnejrealizowalności.
Ztransmitancjązwiązanesąopisyrównoważne,mianowiciecharakterystykiamp-
litudowo-fazoweorazcharakterystykiczasowe(odpowiedźnaskokjednostkowyiod-
powiedźnaimpulsDiraca).
Charakterystykąamplitudowo-fazowąobiektujednowymiarowegonazywamyfunk-
cjęK(jω)dla0≤ω<∞.Jeśliu(t)=Asinωt,tonawyjściuotrzymamyrównież
sinusoidęy(t)=Bsin(ωt+
ϕ
).Łatwopokazać,że
ΗK(jω)Η=
B
A
,
argK(jω)=
ϕ
.
32
