Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2
I.PODSTAWOWEWŁASNOŚCIZBIORÓW
możewielkiegoznaczeniadlazajmowaniasięsamąmatematyką,alejestistotny
zinnegopowodu.Wielokrotniekorzystamyzróżnychwłasnościzbioruliczbrze-
czywistych,naprzykładztakzwanegoaksjomatuciągłości,mówiącego,żekażdy
zbiórograniczonymakresgórnyidolny.Chcielibyśmywiedzieć,czymożnatak
zdefiniowaćliczbyrzeczywiste,bymócnastępnietegoaksjomatudowieść.Można
oczywiściezajmowaćsięmatematyką,niepróbującodpowiadaćnatakiepytania,
alemożnateżspróbowaćtaksformalizowaćcałąmatematykę,byoprzećjąna
fundamenciejaknajmniejszejliczbyaksjomatów,opisującychintuicyjnieoczy-
wistewłasnościmożliwieprostychpojęć.Jednegozmożliwychsposobówtakiej
formalizacjimatematykidostarczawłaśnieteoriamnogości.
Teoriamnogościstanowiwreszcieinteresującądziedzinęmatematyki,wartą
zbadaniadlaniejsamej.Niebędzietojednakzasadniczymcelemtychwykładów.
Sąonebowiemprzedewszystkimwstępem,którybyćmożezachęciczytelnikado
dalszychsamodzielnychstudiów.
Głównypomysł,naktórymopierasięformalizacjamatematykiwjęzykuteorii
mnogości,poleganatym,bysprowadzićdefinicjeróżnychobiektówmatematycz-
nychdopojęciazbioru,czylizdefiniowaćjejakopewnezbiory.Niechcemyprzy
tymrozstrzygaćkwestiifilozoficznej,czywszystkieobiektyświatamatematycz-
negosązbiorami.Mówimytylko,żeświatzbiorówjestwystarczającobogaty,by
możnabyłotraktowaćgojakomodelniemalcałegoświatamatematycznego.Nie
twierdzimyteż,żejesttojedynemożliwe,aninawetnajlepszemożliwepodejście
dopodstawmatematyki.Wkażdymraziejestonorzetelne,skuteczneiszeroko
akceptowane.
COTOJESTZBIÓR?
Formalnierzeczbiorąc,pojęcietoopisująaksjomatyteoriimnogości.Zbiórjest
wtejteoriipojęciempierwotnym,toznaczytakim,któregoniedefiniujemy.Aksjo-
matyteoriimnogościsąstwierdzeniami,któreprzyjmujemybezdowodu,formu-
łującymifundamentalne,opartenaintuicjiwłasnościzbiorów.Wtychwykładach
niechcemyjednakuczyćaksjomatycznejteoriimnogościjakoformalnejteoriilo-
gicznej.Zastosujemymniejformalnepodejście:pokażemydopuszczalnemetody
tworzeniazbiorówioperacjepozwalającetworzyćzdanychzbiorównowezbiory,
dającjednocześniegwarancję,żestosowneaksjomatynatopozwalają(pełnąlistę
tychaksjomatówpodajemywdodatkuF).Jakjużwspomnieliśmy,niechcemytu
kategoryczniestwierdzać,żewszystkieobiektyświatamatematycznegosązbio-
rami.Należyjednakzaznaczyć,żetakaumowajestpodstawąnajczęściejstoso-
wanychsposobówaksjomatyzowaniateoriimnogości,któramaprzecieżopisywać
właśnieświatzbiorów.Możnawięcdlaosiągnięciawiększejścisłościtraktować
słowo„obiekt”,któregonieformalniebędziemyużywaćwtokuwykładu,jakosy-
nonimsłowa„zbiór”.Wszczególności,wyrażenia„dlakażdegox...”i„istnieje
xtakie,że...”,możnaodczytywaćtak:„dlakażdegozbiorux...”i,odpowiednio,
„istniejezbiórxtaki,że...”.
