Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
12
I.PODSTAWOWEWŁASNOŚCIZBIORÓW
jednocześniedoobydwuzbiorówAiB,toznaczyx∈AΠBwtedyitylkowtedy,
gdyx∈Aix∈B.Możemywięcnapisać,że
AΠB={x:x∈Aix∈B}.
TWIERDZENIE1.7.IloczynAΠBzbiorówAiBjestpodzbioremzarówno
zbioruA,jakizbioruB.Ponadto,jeślipewienzbiórCjestpodzbioremobutych
zbiorów,tojestonteżzawartywichiloczynie.
Dowódtegotwierdzenia,podobnydodowodutwierdzenia1.4,pozostawimy
jakoćwiczenie.
ZatemiloczynzbiorówAiBjestnajwiększymzbioremzawartymwobutych
zbiorach.
PRZYKŁAD1.8
(1){1,2,3,4}Π{3,4,5,6}={3,4}.
(2)[0,4)Π[3,6)=[3,4).
(3){x∈R:|x|<1}={x∈R:x>−1}Π{x∈R:x<1}.
(4)Niechf,gbędąfunkcjamizRwR.Wtedy
{x∈R:f2(x)+g2(x)=0}={x∈R:f(x)=0}Π{x∈R:g(x)=0}.
ZbioryAiBnazwiemyzbioramirozłącznymi,jeśliichczęśćwspólnajest
zbiorempustym(AΠB=/O).Mówimyteżwtedy,żezbiórAjestrozłącznyze
zbioremB.
ILOCZYN(CZĘŚĆWSPÓLNALUBPRZECIĘCIE)
RODZINYZBIORÓW
Podobnie,jaksumę,iloczynmożemyrównieżuogólnićnawiększąliczbęzbiorów.
Mamy:
AΠBΠC={x:x∈Aix∈Bix∈C},
AΠBΠCΠD={x:x∈Aix∈Bix∈Cix∈D}
itakdalej:wkażdymzpowyższychprzypadkówiloczynzbiorówskładasięzele-
mentów,którenależądokażdegoztychzbiorów.
Ostatniauwagaprowadzidodalszegouogólnieniapojęciailoczynu.NiechA
będzieniepustąrodzinązbiorów.Wtedyiloczyn(częśćwspólną,przecięcie)
zbiorówrodzinyAlubkrótko:rodzinyAokreślamywnastępującysposób:
