Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
I.PODSTAWOWEWŁASNOŚCIZBIORÓW
PRZYKŁAD1.18
(1)Rodzina{/O,S}jestciałempodzbiorówzbioruS.
(2)RodzinaP(S)jestciałempodzbiorówzbioruS.Zauważmyprzytym,że
jeśliAjestciałempodzbiorówzbioruS,to
{/O,S}⊆A⊆P(S).
TWIERDZENIE1.19.NiechBbędziedowolnąrodzinąpodzbiorówprzestrzeniS:
B⊆P(S).WtedyistniejenajmniejszeciałozbiorówAzawierającerodzinęB,to
znaczyciałozbiorówAonastępującychwłasnościach:
(1)B⊆A.
(2)JeśliCjestciałemzbioróworazB⊆C,toA⊆C.
Dowód.Zauważmynajpierw,żeistniejeconajmniejjednociałozbiorówzawie-
rającerodzinęB.JestnimmianowicieciałoP(S).Definiujemyterazrodzinęciał
zbiorów
X={C:CjestciałemzbioróworazB⊆C}.
RodzinaXjestzatemniepustąrodzinązbiorów.NiechA=ΠX.Ztwierdzenia
1.10wynika,żeB⊆AorazżezbiórAjestzawartywkażdymcielezbiorów
zawierającymrodzinęB.Dozakończeniadowoduwystarczypokazać,żezbiórA
jestciałemzbiorów.
PonieważzbiórSnależydokażdegociałazbiorównależącegodorodzinyX,
więcS∈A.NiechterazA,B∈A.ZbioryAiBnależądokażdegociałazbiorów
zrodzinyX.ZatemzbiórAUBteżnależydokażdegoztychciałzbiorów,awięc
należydoprzecięciarodzinyX.StądAUB∈A.Musimyjeszczewykazać,żedo
rodzinyAnależyrównieżdopełnieniedowolnegozbioruztejrodziny.Niechwięc
A∈A.WtedyAnależydokażdegociałazbiorówzrodzinyX.ZatemzbiórA!
należydokażdegociałazX,awięcnależydoprzecięciarodzinyX.Pokazaliśmy
więc,żeA!∈A,codowodzi,żerodzinazbiorówAjestciałemzbiorów.I
NajmniejszeciałopodzbiorówprzestrzeniSzawierającerodzinęzbiorówB
nazywamyciałemzbiorówgenerowanymprzezrodzinęB.
Możnadośćłatwopokazać,żeciałemzbiorówgenerowanymprzezrodzinę
trójelementowązłożonąztrzechpodzbiorówA,BiCprzestrzeniSjestrodzina
wszystkichsumskładowychutworzonychztychtrzechzbiorów,awięcrodzina
zbiorówpostaciY,gdzie
Y⊆{S(o,o,o),S(o,o,1),S(o,1,o),S(o,1,1),S(1,o,o),S(1,o,1),S(1,1,o),S(1,1,1)}.
Wynikastąd,żejeślirodzinaB={A,B,C}jestniezależna,tociałoAgene-
rowaneprzeztęrodzinęskładasięz28podzbiorówprzestrzeniS.JeślizbioryA,
BiCnaszkicujemynadiagramieVenna,todociałaAnależądokładnietepod-
zbioryS,któremożnazilustrowaćzapomocątegodiagramu.Jestichwłaśnie28.
