Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
Istotnie,zjednejstrony,jeślix∈A,tox∈Adlapewnegozbioru
A∈A.Alewtedyistniejeliczban∈N,n/=0taka,żeA=[1
Zatemx∈[1
Zdrugiejstrony,jeślix∈(0,2),czyli0<x<2,toznajdziemyliczbę
n∈N,n/=0taką,że1
większąodkażdejzliczbxoraz1
x∈AorazA∈A,astądx∈A.Topokazuje,że(0,2)⊆A.
Stwierdziliśmy,żeA⊆(0,2)oraz(0,2)⊆A,azatemA=(0,2).
n,2−1
n],astądx∈(0,2).Topokazuje,żeA⊆(0,2).
nśxś2−1
2-x).PrzyjmującA=[1
W1.ZBIORYIDZIAŁANIANANICH
n(jakonwystarczywziąćliczbę
n,2−1
n,2−1
n],mamy
n].
11
Udowodniliśmywcześniej,żezbiórAUBjestnajmniejszym(wsensieza-
wierania)zbiorem,wktórymzawartesąobazbioryA,B.Zachodzinastępujące
uogólnienietegotwierdzenia.
TWIERDZENIE1.6.NiechAbędziedowolnąrodzinązbiorów.WtedyAjest
najmniejszym(wsensiezawierania)zbiorem,wktórymzawartesąwszystkiezbio-
rynależącedozbioruA,toznaczyspełnionesąnastępującedwawarunki:
(1)DlakażdegoA,jeśliA∈A,toA⊆A.
(2)JeśliCjestdowolnymzbioremowłasności
(∗)
toA⊆C.
dlakażdegoA,jeśliA∈A,toA⊆C,
Dowód.Wykażemynajpierw,żespełnionyjestwarunek(1).NiechwięcA∈A
iniechxbędziedowolnymelementemzbioruA.ZdefinicjisumyrodzinyAwy-
nika,żex∈A.ZatemA⊆A.
Wykażemyteraz,żespełnionyjestwarunek(2).NiechwięcCbędziedowol-
nymzbioremzawierającymwszystkiezbiorynależącedorodzinyA:
dlakażdegoA,jeśliA∈A,toA⊆C.
Przypuśćmy,żexjestdowolnymelementemzbioruA.Zdefinicjisumyro-
dzinyAwynika,żeistniejetakizbiórAnależącydoA,żex∈A.Alewtedy
A⊆Corazx∈A.Stądwynika,żex∈C.Wykazaliśmywięc,żedowolny
elementzbioruAjestteżelementemzbioruC,awięcA⊆C.I
ILOCZYN(CZĘŚĆWSPÓLNALUBPRZECIĘCIE)
DWÓCHZBIORÓW
Następnymdziałaniem,znanymzeszkołyśredniej,jestdziałaniemnożenia(prze-
cinania)zbiorów.
IloczynemAΠBzbiorówAiB(częściąwspólnąlubprzecięciemtych
zbiorów)nazywamyzbiórzłożonyztychitylkotychelementów,którenależą
