Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
10
I.PODSTAWOWEWŁASNOŚCIZBIORÓW
Dowód.OczywiścieA⊆AUBiB⊆AUB.Załóżmyteraz,żeA⊆Coraz
B⊆C.Żebypokazać,żeAUB⊆C,weźmydowolnyelementx∈AUB.Jeśli
x∈A,tox∈C,gdyżA⊆C.Analogicznie,jeślix∈B,tox∈C,ponieważ
B⊆C.Zatemwobuprzypadkachx∈C.Pokazaliśmy,żedowolnyelementzbioru
AUBjestteżelementemzbioruC,awięcAUB⊆C.
I
SumazbiorówAiBjestzatemnajmniejszymzbiorem,wktórymzawartesą
obatezbiory.
SUMARODZINYZBIORÓW
Działaniedodawaniadwóchzbiorówmożnauogólnićnawiększąliczbęzbiorów:
AUBUC={x:x∈Alubx∈Blubx∈C},
AUBUCUD={x:x∈Alubx∈Blubx∈Clubx∈D}
itakdalej:wkażdymzpowyższychprzypadkówsumazbiorówskładasięzele-
mentów,którenależądoconajmniejjednegoztychzbiorów.
Ostatniauwagapozwalanadalszeuogólnieniepojęciasumy.NiechAbę-
dzierodzinązbiorów,czylizbiorem,któregoelementamisązbiory.Wtedysumę
zbiorówrodzinyA(lubkrótko:sumęrodzinyA)określamywnastępujący
sposób:
Ajestzbioremzłożonymztychitylkotychelementów,którenależądo
conajmniejjednegospośródzbiorównależącychdorodzinyA,tj.x∈A
wtedyitylkowtedy,gdyistniejezbiórA∈Ataki,żex∈A.
Oczywiściesumędwóch,trzechczy,ogólniej,skończeniewieluzbiorów,można
łatwoprzedstawićwpostacisumypewnejrodzinyzbiorów.Wtymsensiepojęcie
sumyrodzinyzbiorówjestuogólnieniempojęciadodawaniazbiorów:
AUB={A,B},
AUBUC={A,B,C}
itakdalej.
PRZYKŁAD1.5
(1)/O=/O.
(2){/O}=/O.
(3){{1,2,3,4},{3,4,5,6}}={1,2,3,4,5,6}.
(4)DladowolnegozbioruA,{A}=A.
(5)DladowolnegozbioruA,P(A)=A.
(6)Niech
A={A∈P(R):istniejeliczban∈Ntaka,żen/=0iA=[
n,2−1
1
n]}.
WtedyA=(0,2).
