Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
8
I.PODSTAWOWEWŁASNOŚCIZBIORÓW
Ogólnie,jeślimamydanezbioryAiBtakie,żewskładzbioruAwchodzą
wyłączniete(byćmożeniewszystkie)elementy,którenależądoB,tomówimy,
żezbiórAjestpodzbioremzbioruBlubżezbiórAjestzawartywzbiorzeB
ipiszemyA⊆B.Mówimyteżwtedy,żezbiórBjestnadzbioremzbioruA.
Zatem
A⊆Boznacza,żedlakażdegox,jeślix∈A,tox∈B.
Zauważmy,żeA=Bwtedyitylkowtedy,gdyA⊆BiB⊆A.JeśliA⊆B
ijednocześnieA/=B,tozbiórAnazywamypodzbioremwłaściwymzbioruB
ipiszemyAQB;zbiórBjestwtedy,odpowiednio,nadzbioremwłaściwym
zbioruA.
Częstostosowanymsynonimemsłowa„zawieranie”jestinkluzja.Mówimy
zatemoinkluzjimiędzyzbioramiAiB,mającnamyślito,żezbiórAjest
zawartywzbiorzeB.Itaknaprzykład,jeślimamydowieść,żezbioryAiBsą
równe,tomówimy,żedowodzimydwóchinkluzji:A⊆BiB⊆A.
Pojęcianależeniaizawieraniasączęstomylonezesobą.Pamiętajmyotym,że
samegonależeniadozbioruniedefiniowaliśmy,natomiastpojęciezawieraniajest
jużściślezdefiniowanezapomocąnależenia.Niemożnajednakwprowadzaćroz-
różnienia,żepodzbioramisązbiory,aelementami—obiektyniebędącezbiorami.
Elementamizbiorówteżmogąbyćzbiory.
Sytuacjękomplikujedodatkowoto,żetensamzbiórAmożejednocześnie
byćelementemipodzbioremzbioruB.Naprzykładdladowolnegoaweźmy
A={a}iB={a,{a}}.Mamywtedy{a}∈{a,{a}}oraz{a}⊆{a,{a}}(czyli
A∈BorazA⊆B).Pierwszazależnośćjestoczywista,gdyżzbiór{a}został
wyszczególnionywśródelementówzbioru{a,{a}}.Drugazależnośćwynikastąd,
żejedynyelementzbioru{a}(czylia)teżjestwyszczególnionywśródelementów
zbioru{a,{a}}.
OczywiściezbiórAniejestpodzbioremzbioruB(lubniejestzawarty
wzbiorzeB)wtedyitylkowtedy,gdyistniejetakielementzbioruA,którynie
należydozbioruB—piszemywtedyA/⊆B.Wynikastądnatychmiast,że
zbiórpustyjestpodzbioremkażdegozbioruB:nieistniejebowiemwogóleżaden
elementzbiorupustego,awięctymbardziejżadenelement,którynienależydoB.
Wlepszymuzmysłowieniusobie,dlaczego/O⊆B,możeteżpomócnastępujące
spostrzeżenie:/O={x∈B:x/=x},awięczbiórpustyjestzbioremelementów
zbioruB,„wyróżnionych”pewnąwłasnością—mianowicietaką,którejżaden
elementzbioruBniespełnia.
JeśliwięcmamydanyzbiórB,doktóregonależyzbiórpusty,tojesttojeszcze
jedenprzykładsytuacji,wktórejtensamzbiórnależydoBijestzawartywB.
ZBIÓRPOTĘGOWY
PodzbiorydanegozbioruAmogąbyćelementamiinnychzbiorów.Wszczególności
istniejezbiór,któregoelementamisąwszystkiepodzbioryzbioruAitylkoone.
Tenzbiór,czylirodzinęwszystkichpodzbiorówzbioruA,nazywamyzbiorem
