Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
W1.ZBIORYIDZIAŁANIANANICH
dynieodtego,czymająonetesameelementy.Naprzykład
{x∈R:x2=1}={k∈Z:k/=0iistniejelim
n→∞
|k|n},
gdyżkażdyztychzbiorówskładasięwyłączniezliczb−1i1.
7
PRZYKŁAD1.1
Zapomocązbiorówliczbcałkowitychirzeczywistychmożemyzdefiniować
zbiórliczbwymiernych
Q={x∈R:istniejąk∈Zil∈Ztakie,żel/=0ix=
k
l}.
ZBIÓRPUSTY
Istniejepewienbardzoszczególnyzbiór,mianowicietaki,któryniemażadnego
elementu.Oznaczamygosymbolem/Oinazywamyzbiorempustym.Awięc
zbiorempustymjestnaprzykładzbiórliczbrzeczywistychxspełniającychrów-
naniex2+1=0,atakżezbiórtychliczbnaturalnychn,któresąwiększeod2
iktóremajątęwłasność,żeistniejąliczbycałkowitedodatniex,yizspełnia-
jącerównaniexn+yn=zn.(To,żepierwszyztychzbiorówjestpusty,powi-
nienwiedziećkażdymaturzysta,to,żedrugijestpusty,jestwysocenietrywialne
izostałoudowodnionedopieropodkoniecXXwieku).Możnaoczywiściezadać
pytanie,czypowyżejopisanorzeczywiścietensamzbiórpusty.Pierwszyztych
zbiorówjestprzecieżzbiorempewnychliczbrzeczywistych.Wprawdzienienależą
doniegożadneliczbyrzeczywiste,alebyłdefiniowanyjakozbiór,któregoelemen-
tamimiałybyćliczbyrzeczywiste.Otym,żejestonpusty,przekonujemysię
dopierowdrodzepewnegorozumowaniamatematycznego.Drugizbiórjestnato-
miastzbiorempewnychliczbnaturalnych.Teżniemaonelementów,aleczyjest
ontymsamymzbioremcopierwszy?Zauważmy,żekwestiętęwyjaśniaomówiona
wcześniejzasadarównościzbiorów.Skorodwazbiorysąidentyczne,jeślimająte
sameelementy,towszczególnościistniejetylkojedenzbiórpusty,niezależnieod
tego,wjakisposóbzostałonzdefiniowany.
Zauważmy,że{/O}/=/O.Pierwszyzbiórjestniepusty,bomajedenelement:
zbiórpusty.Drugizbiórjestpusty,czyliniemażadnegoelementu.Azatemte
zbiorysąróżne.Zauważmyteż,żezbiór{/O,{/O}}madwaelementy,jestwięc
różnyodobupoprzednichzbiorów.
ZAWIERANIEZBIORÓW
ZbiórAzdefiniowanyzapomocąschematudefiniowaniaprzezwyróżnianiejako
A={x∈B:W(x)}jest„częścią”zbioruBwtymsensie,żetworzygoczęść
elementówzbioruB—te,którespełniająwłasnośćW(x).
