Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
35
tychszczególnych,wyznaczonychwcześniej.Ponadto,szukającpierwszychkonkretnych
rozwiązań,wartozazwyczajograniczyćuwagędoklasfunkcjiobdarzonychpewnymi
symetriami.PonieważrównanieLaplace’ajestniezmienniczezewzględunaobroty(za-
danie2),więcwskazanejest(jaksięwydaje)rozpoczęcieposzukiwaniaodrozwiązań
radialnych,tzn.odfunkcjizależnychjedynieodr=|x|.
SpróbujmyzatemznaleźćrozwiązanieurównaniaLaplace’a(1)wU=Rn,mające
postać
u(x)=v(r),
gdzier=|x|=(x2
1+···+x2
n)1/2,afunkcjęvnależydobrać(jeślitomożliwe)wtaki
sposób,by∆u=0.Zauważmynajpierw,że
∂xi
∂r
=
1
2
(x
1+...+x2
2
n)
–1/2
2xi=
xi
r
(x/=0)
dlai=1,...,n.Mamywięc
ux
i=v,(r)
xi
r
,ux
ixi=v,,(r)
r2
x2
i
+v,(r)
1
r
–
x2
r3
i
dlawszystkichi=1,...,n,astąd
∆u=v,,(r)+
n–1
r
v,(r).
Zatem∆u=0wtedyitylkowtedy,gdy
(5)
v,,+
n–1
r
v,=0.
Jeśliv,/=0,townioskujemystąd,że
log(|v,|),=
v,,
v,
=
1–n
r
,
tzn.v,(r)=
rn–1
a
dlapewnejstałeja.Ostateczniewięcdlar>0otrzymujemy
v(r)=
[
ł
l
blogr+c
rn–2
b
+c
(n=2),
(n≥3),
gdziebicsąstałymi.
Terozważaniamotywująnastępującądefinicję.
DEFINICJA.Funkcja
(x):=
[
'
'
ł
'
'
l
–
n(n–2)α(n)
2π
1
log|x|
1
|x|n–2
1
(n=2),
(6)
(n≥3),
określonadlax∈Rn,x/=0,jestrozwiązaniempodstawowymrównaniaLaplace’a.
Powodykonkretnegodoborustałychwewzorze(6)stanąsięjasnezachwilę.(Pa-
miętajmy,żezgodniezdodatkiemA.2α(n)oznaczaobjętośćkulijednostkowejwRn).
