Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
36
2.Czteryważnerównanialiniowe
Będziemyczasemlekkonadużywaćoznaczeń,pisząc(x)=(|x|)poto,by
podkreślić,żerozwiązaniepodstawowejestradialne.Zauważmyrównież,żezachodzą
oszacowania
(7)
|D(x)|≤
|x|n–1
C
,|D2(x)|≤
|x|n
C
(x/=0),
gdzieC>0jestpewnąstałą,zależnąodwymiarun.
b.RównaniePoissona
Zkonstrukcjiwynika,żefunkcjaxl→(x)jestharmonicznadlax/=0.Jeśli
początekukładuwspółrzędnychprzesuniemydonowegopunktuy,torównanie(1)nie
zmienisię;zatem,funkcjaxl→(x–y)zmiennejxteżjestharmonicznadlax/=y.
Niechterazf:Rn→R;zauważmy,żedlakażdegoy∈Rnodwzorowaniexl→
(x–y)f(y)(x/=y)jestharmoniczne.Harmonicznajestwięctakżesumaskończonej
liczbytakichwyrażeń,utworzonychdlaróżnychpunktówy.
Torozumowaniemogłobysugerować,żesplot
u(x)=∫
Rn
(x–y)f(y)dy
=
[
'
'
ł
'
'
l
n(n–2)α(n)∫
–
2π∫
1
1
R2
log(|x–y|)f(y)dy
Rn
|x–y|n–2
f(y)
dy
(n=2),
(n≥3)
będziespełniałrównanie(1).Jednakże,wcaletakniejest,gdyżniemożemynapisać,że
(8)
∆u(x)=∫
Rn
∆x(x–y)f(y)dy=0.
Istotnie,oszacowanie(7)podpowiada,żeD2(x–y)niejestfunkcjącałkowalnąwoto-
czeniuosobliwościy=x,awięcróżniczkowaniepodznakiemcałkijestnieusprawie-
dliwione(idajezływynik).Abyobliczyć∆u,musimypostępowaćostrożniej.
Załóżmyterazdlauproszczenia,żef∈C2
c(Rn);tzn.fjestdwukrotnieróżniczko-
walnawsposóbciągłyimazwartynośnik.
(9)
TWIERDZENIE1(RozwiązanierównaniaPoissona).Określmyfunkcjęuwzorem(8).
Wówczas
(i)u∈C2(Rn),
aponadto
(ii)–∆u=fwRn.
Widzimywięc,żewzór(8)dostarczanamprzepisunapewnerozwiązanierównania
Poissona(2)wRn.
