Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
Dowód.1.Mamy
u(x)=∫
Rn
(x–y)f(y)dy=∫
Rn
(y)f(x–y)dy;
zatem
u(x+hei)–u(x)
h
=∫
Rn
(y)
f(x+hei–y)–f(x–y)
h
dy,
gdzieh/=0,aei=(0,...,1,...,0),zjedynkąnai-tymmiejscu.Ale
f(x+hei–y)–f(x–y)
h
→
∂xi
∂f
(x–y)
jednostajnienaRn,gdyh→0,awięc
∂xi
∂u
(x)=∫
Rn
(y)
∂xi
∂f
(x–y)dy
(i=1,...,n).
Podobnie
(10)
∂xi∂xj
∂2u
(x)=∫
Rn
(y)
∂xi∂xj
∂2f
(x–y)dy
(i,j=1,...,n).
37
Ponieważprawastronarównania(10)jestciągłajakofunkcjazmiennejx,więcwidzimy,
żeu∈C2(Rn).
2.Ponieważmaosobliwośćwpunkcie0,więcumieścimyówpunktwmałejkuli,
bynieprzeszkadzałnamwdalszychrachunkach.Ustalmyzateme>0.Wtedy
(11)
∆u(x)=∫
B(0,e)
(y)∆xf(x–y)dy+∫
Rn–B(0,e)
(y)∆xf(x–y)dy
=:Ie+Je.
Nietrudnooszacowaćpierwszyskładnik:
(12)
|Ie|≤CD
2fL∞(Rn)∫
B(0,e)
|(y)|dy≤Ce
Ce2
2|loge|
(n=2),
(n≥3).
Całkującprzezczęści(patrzdodatekC.2),otrzymujemy
Je=∫
Rn–B(0,e)
(y)∆yf(x–y)dy
(13)
=–∫
Rn–B(0,e)
D(y)·Dyf(x–y)dy
+∫
∂B(0,e)
(y)
∂f
∂v
(x–y)dS(y)
=:Ke+Le,
