Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
39
u(x)jestrównaśredniejfunkcjiunasferze∂B(x,r),atakżeśredniejuwcałejkuli
B(x,r),oileB(x,r)⊂U.Ztychrówności,jaksięwkrótceprzekonamy,wynika
zadziwiającowieleróżnychwłasnościfunkcjiharmonicznych.
TWIERDZENIE2(Własnośćwartościśredniej).Jeśliu∈C2(U)jestharmoniczna,to
u(x)=–
∫
∂B(x,r)
udS=–
∫
B(x,r)
udy
dlakażdejkuliB(x,r)⊂U.
(16)
Dowód.1.Połóżmy
φ(r):=–
∫
∂B(x,r)
u(y)dS(y)=–
∫
∂B(0,1)
u(x+rz)dS(z).
Wtedy
φ,(r)=–
∫
∂B(0,1)
Du(x+rz)·zdS(z),
awięcnamocywzorówGreenazdodatkuC.2
φ,(r)=–
∫
∂B(x,r)
Du(y)·
y–x
r
dS(y)
=–
∫
∂B(x,r)
∂u
∂v
dS(y)
=
n
r
–
∫
B(x,r)
∆u(y)dy=0.
Zatemφjeststała,czyli
φ(r)=lim
t→0
φ(t)=lim
t→0
∫
–
∂B(x,t)
u(y)dS(y)=u(x).
2.Zauważmynastępnie,żecałkującwewspółrzędnychbiegunowych(por.dodatek
C.3),otrzymujemy
∫
B(x,r)
udy=∫
0∫
r
∂B(x,s)
udSds
=u(x)∫
0
r
nα(n)sn–1ds=α(n)rnu(x).
Π
TWIERDZENIE3(Odwróconawłasnośćwartościśredniej).Jeśliu∈C2(U)i
u(x)=–
∫
∂B(x,r)
udS
dlakażdejkuliB(x,r)⊂U,toujestfunkcjąharmoniczną.
