Równania różniczkowe cząstkowe

Lawrence C. Evans

Uzyskaj dostęp

Zakup książkę

ISBN/ISSN:

978-83-01-15627-5

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2008

Liczba stron:

620

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Bibliografia:

Evans, Lawrence C.. Równania różniczkowe cząstkowe. Red. . Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2008, 620 s. ISBN 978-83-01-15627-5

Bibliografia refWorks:

RT Book, Whole

SR Electronic(1)

A1 Evans, L.C.

T1 Równania różniczkowe cząstkowe

PB Wydawnictwo Naukowe PWN

PP Warszawa

YR 2008

SN 978-83-01-15627-5

Bibliografia BibTex:

@Book{ 1777, author = "Evans, Lawrence C.", editor = "", title = "Równania różniczkowe cząstkowe", publisher = "Wydawnictwo Naukowe PWN", year = "2008", address = "Warszawa", isbn = "978-83-01-15627-5" }

Bibliografia endNote:

TY - BOOK

AU - Evans, Lawrence C.

ED -

TI - Równania różniczkowe cząstkowe

PB - Wydawnictwo Naukowe PWN

CY - Warszawa

PY - 2008

SN - 978-83-01-15627-5

ER -

Netografia (standard APA):

Evans, Lawrence C.. Równania różniczkowe cząstkowe [baza danych online] Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2008 [dostęp: 21 05 2024]. Dostęp w Ibuk Libra: https://libra.ibuk.pl/reader/rownania-rozniczkowe-czastkowe-lawrence-c-evans-1777.

równania różniczkowe cząstkowe

Dział matematyki zajmujący się równaniami różniczkowymi cząstkowymi nie stanowi jednej spójnej teorii. Matematycy posługują się tutaj różnymi teoriami dotyczącymi poszczególnych typów równań, a obok tego istnieją rozmaite metody znajdowania szczeg...

Więcej

ISBN/ISSN:

978-83-01-15627-5

DOI:

Wydawnictwo:

Wydawnictwo Naukowe PWN

Rok wydania:

2008

Liczba stron:

620

XML:ISBN/ISSN:

ONIX MARC21

Przedmowa9
1. Wprowadzenie12
1.1. Równania różniczkowe cząstkowe12
1.2. Przykłady14
1.2.1. Pojedyncze równania różniczkowe cząstkowe14
1.2.2. Układy równań różniczkowych cząstkowych16
1.3. Strategie badania równań17
1.3.1. Zagadnienia dobrze postawione i rozwiązania klasyczne17
1.3.2. Słabe rozwiązania i regularność18
1.4. Przegląd treści19
1.3.3. Typowe trudności19
1.5. Zadania22
Część I. PRZYKŁADOWE WZORY ROZWIĄZAŃ24
2. Cztery ważne równania liniowe24
2.1. Równanie transportu24
2.1.1. Zagadnienie początkowe25
2.1.2. Zagadnienie niejednorodne25
2.2. Równanie Laplace´a26
2.2.1. Rozwiązanie podstawowe27
2.2.2. Własność wartości średniej31
2.2.3. Własności funkcji harmonicznych33
2.2.4. Funkcja Greena39
2.2.5. Metody energetyczne47
2.3. Równanie przewodnictwa cieplnego49
2.3.1. Rozwiązanie podstawowe50
2.3.2. Własność wartości średniej57
2.3.3. Własności rozwiązań60
2.3.4. Metody energetyczne67
2.4. Równanie falowe70
2.4.1. Rozwiązanie metodą średnich sferycznych71
2.4.2. Zagadnienie niejednorodne84
2.4.3. Metody energetyczne86
2.5. Zadania89
2.6. Uwagi bibliograficzne92
3. Nieliniowe równania pierwszego rzędu93
3.1. Całki zupełne i obwiednie94
3.1.1. Całki zupełne94
3.1.2. Obwiednie i nowe rozwiązania96
3.2. Metoda charakterystyk98
3.2.1. Wyprowadzenie równania charakterystyk98
3.2.2. Przykłady101
3.2.3. Warunki brzegowe104
3.2.4. Rozwiązanie lokalne107
3.2.5. Zastosowania111
3.3. Wprowadzenie do równań Hamiltona-Jacobiego116
3.3.1. Rachunek wariacyjny i równania Hamiltona117
3.3.2. Przekształcenie Legendre´a i wzór Hopfa-Laxa121
3.3.3. Słabe rozwiązania. Jednoznaczność129
3.4. Wprowadzenie do praw zachowania136
3.4.1. Fale uderzeniowe, warunek wzrostu entropii136
3.4.2. Wzór Laxa-Olejnik143
3.4.3. Słabe rozwiązania i ich jednoznaczność147
3.4.4. Zagadnienie Riemanna152
3.4.5. Zachowanie dla długich czasów155
3.5. Zadania160
3.6. Uwagi bibliograficzne162
4. Inne metody reprezentacji rozwiązań164
4.1. Rozdzielanie zmiennych164
4.2. Rozwiązania samopodobne168
4.2.1. Fale biegnące i płaskie. Solitony168
4.2.2. Podobieństwo i skalowanie176
4.3. Transformata Fouriera i transformata Laplace´a177
4.3.1. Transformata Fouriera177
4.3.2. Transformata Laplace´a186
4.4. Zamiana równań nieliniowych na liniowe189
4.4.1. Transformata Hopfa-Cole´a189
4.4.2. Potencjały i przepływy bezwirowe191
4.4.3. Metoda hodografu i przekształcenie Legendre´a192
4.5. Metody asymptotyczne194
4.5.1. Zaburzenia osobliwe194
4.5.2. Metoda Laplace´a199
4.5.3. Optyka geometryczna. Stacjonarna faza201
4.5.4. Homogenizacja211
4.6. Szeregi potęgowe214
4.6.1. Powierzchnie niecharakterystyczne214
4.6.2. Funkcje analityczne w sensie rzeczywistym218
4.6.3. Twierdzenie Cauchy´ego i Kowalewskiej220
4.7. Zadania225
4.8. Uwagi bibliograficzne227
Część II. TEORIA LINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH228
5. Przestrzenie Sobolewa228
5.1. Przestrzenie H¨oldera229
5.2. Przestrzenie Sobolewa230
5.2.1. Słabe pochodne231
5.2.2. Definicja przestrzeni Sobolewa233
5.2.3. Elementarne własności słabych pochodnych236
5.3. Aproksymacja238
5.3.1. Wewnętrzna aproksymacja funkcjami gładkimi238
5.3.2. Aproksymacja funkcjami gładkimi240
5.3.3. Aproksymacja funkcjami gładkimi do brzegu włącznie241
5.4. Przedłużanie243
5.5. Ślady246
5.6. Nierówności Sobolewa250
5.6.1. Nierówność Gagliarda-Nirenberga-Sobolewa250
5.6.2. Nierówność Morreya255
5.6.3. Ogólne nierówności Sobolewa258
5.7. Zwartość260
5.8. Dodatkowe informacje263
5.8.1. Nierówności Poincar´ego263
5.8.2. Ilorazy różnicowe265
5.8.3. Różniczkowalność prawie wszędzie268
5.8.4. Wykorzystanie transformaty Fouriera270
5.9. Inne przestrzenie funkcyjne271
5.9.1. Przestrzeń H-1271
5.9.2. Przestrzenie funkcji zależnych od czasu273
5.10. Zadania277
5.11. Uwagi bibliograficzne280
6. Równania eliptyczne drugiego rzędu281
6.1. Definicje281
6.1.1. Równania eliptyczne281
6.1.2. Słabe rozwiązania283
6.2. Istnienie słabych rozwiązań285
6.2.1. Twierdzenie Laxa-Milgrama285
6.2.2. Oszacowania energetyczne287
6.2.3. Alternatywa Fredholma289
6.3. Regularność295
6.3.1. Regularność we wnętrzu296
6.3.2. Regularność na brzegu302
6.4. Zasady maksimum311
6.4.1. Słaba zasada maksimum312
6.4.2. Mocna zasada maksimum314
6.5. Wartości własne i funkcje własne318
6.4.3. Nierówność Harnacka318
6.5.1. Wartości własne symetrycznych operatorów eliptycznych319
6.5.2. Wartości własne niesymetrycznych operatorów eliptycznych324
6.6. Zadania328
6.7. Uwagi bibliograficzne331
7. Liniowe równania ewolucyjne332
7.1. Równania paraboliczne drugiego rzędu332
7.1.1. Definicje332
7.1.2. Istnienie słabych rozwiązań335
7.1.3. Regularność rozwiązań340
7.1.4. Zasady maksimum348
7.2. Równania hiperboliczne drugiego rzędu358
7.2.1. Definicje358
7.2.2. Istnienie słabych rozwiązań360
7.2.3. Regularność rozwiązań367
7.2.4. Rozchodzenie się zaburzeń373
7.2.5. Równania w dwu zmiennych376
7.3. Układy hiperboliczne równań pierwszego rzędu379
7.3.1. Definicje379
7.3.2. Symetryczne układy hiperboliczne381
7.3.3. Układy ze stałymi współczynnikami387
7.4. Teoria półgrup391
7.4.1. Definicje, podstawowe własności391
7.4.2. Konstrukcja półgrup kontrakcji397
7.4.3. Zastosowania399
7.5. Zadania403
7.6. Uwagi bibliograficzne405
Część III. TEORIA NIELINIOWYCH RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH CZĄSTKOWYCH406
8. Rachunek wariacyjny406
8.1. Wprowadzenie406
8.1.1. Podstawowe pomysły406
8.1.2. Pierwsza wariacja i równanie Eulera-Lagrange´a407
8.1.3. Druga wariacja410
8.1.4. Układy równań412
8.2. Istnienie minimów417
8.2.1. Warunek wymuszania i półciągłość z dołu417
8.2.2. Wypukłość419
8.2.3. Słabe rozwiązania równania Eulera-Lagrange´a423
8.2.4. Układy426
8.3. Regularność431
8.3.1. Oszacowania pochodnych drugiego rzędu431
8.3.2. Uwagi o wyższej regularności434
8.4. Więzy435
8.4.1. Nieliniowe zagadnienia na wartości własne436
8.4.2. Więzy jednostronne i nierówności wariacyjne439
8.4.3. Przekształcenia harmoniczne442
8.4.4. Nieściśliwość444
8.5. Punkty krytyczne448
8.5.1. Twierdzenie o przełęczy górskiej449
8.5.2. Zastosowanie do półliniowych równań eliptycznych453
8.6. Zadania458
8.7. Uwagi bibliograficzne461
9. Metody niewariacyjne462
9.1. Monotoniczność462
9.2. Metody punktu stałego468
9.2.1. Twierdzenie Banacha o punkcie stałym469
9.2.2. Twierdzenia Schaudera i Schaefera o punkcie stałym472
9.3. Metoda podrozwiązań i nadrozwiązań477
9.4. Nieistnienie480
9.4.1. Wybuchy480
9.4.2. Tożsamość Derricka-Pochożajewa483
9.5. Geometryczne własności rozwiązań486
9.5.1. Gwiaździste poziomice486
9.5.2. Symetria radialna487
9.6. Potoki gradientowe491
9.6.1. Funkcje wypukłe na przestrzeniach Hilberta491
9.6.2. Subróżniczki i półgrupy nieliniowe496
9.6.3. Zastosowania501
9.7. Zadania503
9.8. Uwagi bibliograficzne504
10. Równania Hamiltona-Jacobiego506
10.1. Wprowadzenie: rozwiązania lepkościowe506
10.1.1. Definicje508
10.1.2. Zgodność różnych definicji rozwiązania510
10.2. Jednoznaczność513
10.3. Teoria sterowania i programowanie dynamiczne517
10.3.1. Wprowadzenie do teorii sterowania517
10.3.2. Programowanie dynamiczne518
10.3.3. Równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellmana520
10.3.4. Wzór Hopfa-Laxa po raz drugi526
10.4. Zadania529
10.5. Uwagi bibliograficzne530
11. Układy praw zachowania531
11.1. Wstęp531
11.1.1. Rozwiązania całkowe533
11.1.2. Fale biegnące, układy hiperboliczne536
11.2. Zagadnienie Riemanna542
11.2.1. Fale proste542
11.2.2. Fale rozrzedzeniowe544
11.2.3. Fale uderzeniowe i nieciągłości kontaktowe545
11.2.4. Lokalne rozwiązania zagadnienia Riemanna551
11.3. Układy dwóch praw zachowania554
11.3.1. Niezmienniki Riemanna554
11.3.2. Nieistnienie gładkich rozwiązań558
11.4. Kryteria entropijne560
11.4.1. Znikająca lepkość, fale biegnące561
11.4.2. Para entropii i strumienia entropii564
11.4.3. Jednoznaczność dla skalarnego prawa zachowania567
11.5. Zadania571
11.6. Uwagi bibliograficzne572
DODATKI573
A. Oznaczenia573
A.1. Macierze573
A.2. Oznaczenia geometryczne574
A.3. Funkcje575
A.4. Funkcje o wartościach wektorowych578
A.5. Konwencja zapisu oszacowań579
B. Nierówności580
A.6. Kilka uwag na temat oznaczeń580
B.1. Funkcje wypukłe580
B.2. Nierówności elementarne581
C. Twierdzenia rachunku różniczkowego585
C.1. Gładkość brzegu585
C.2. Twierdzenie Gaussa-Greena587
C.3. Współrzędne biegunowe i wzór na całkowanie po włóknach588
C.4. Splot i wygładzanie588
C.5. Twierdzenie o funkcji odwrotnej591
C.6. Twierdzenie o funkcji uwikłanej592
D. Liniowa analiza funkcjonalna594
C.7. Zbieżność jednostajna594
D.1. Przestrzenie Banacha594
D.2. Przestrzenie Hilberta595
D.3. Ograniczone operatory liniowe596
D.4. Słaba zbieżność598
D.5. Operatory zwarte i teoria Fredholma599
D.6. Operatory symetryczne603
E. Teoria miary604
E.1. Miara Lebesgue´a604
E.2. Funkcje mierzalne i całkowanie605
E.3. Twierdzenia o zbieżności dla całek606
E.4. Różniczkowanie607
E.5. Funkcje o wartościach w przestrzeni Banacha607
Bibliografia610
Literatura uzupełniająca do wydania polskiego613
Skorowidz614

L.C.Evans,Równaniaró

niczkowecz

stkowe,Warszawa2008

ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002

2.2.RównanieLaplace’a

gdzieg≥0,toujestdodatniawkażdympunkciezbioruU,jeśligjestdodatniana

jakimśpodzbiorze∂U.

Ważnymzastosowaniemzasadymaksimumjestdowódjednoznacznościrozwiązań

pewnychzagadnieńbrzegowychdlarównaniaPoissona.

TWIERDZENIE5(Jednoznaczność).Załóżmy,żeg∈C(∂U)if∈C(U).Wtedy

zagadnieniebrzegowe

(17)

–∆u=fwU,

u=g

na∂U

maconajwyżejjednorozwiązanieu∈C2(U)∩C(¯

U).

Dowód.Jeśliui˜

uspełniają(17),tostosujemytwierdzenie4dofunkcjiharmonicznej

w:=±(u–˜

u).

b.Regularność

Wykażemyteraz,żejeśliu∈C2jestharmoniczna,tou∈C∞.Zatemwszyst-

kiefunkcjeharmonicznesąróżniczkowalnenieskończeniewielerazy.Zdaniategotypu

nazywasiętwierdzeniamioregularności.Ciekawejestto,żealgebraicznastrukturarów-

naniaLaplace’a∆u=Σ

i=1ux

ixi=0prowadzidownioskuocharakterzeanalitycznym:

istniejąwszystkiepochodnecząstkowefunkcjiu,nawette,którewcalewrównaniunie

występują.

TWIERDZENIE6(Gładkość).Jeśliu∈C(U)mawłasnośćwartościśredniejdla

każdejkuliB(x,r)⊂U,to

u∈C∞(U).

Podkreślmywyraźnie,żefunkcjauniemusibyćgładka—aninawetciągła!—

wpunktach∂U.

Dowód.Niechnbędziejądremoperatorawygładzającego(patrzdodatekC.4).Przypo-

mnijmy,żewartościnzależątylkood|x|.Połóżmyue:=ne∗uwUe={x∈U|

dist(x,∂U)>e}.JakwyjaśniamywdodatkuC.4,ue∈C∞(Ue).

Wykażemy,żeujestfunkcjągładką,dowodząc,żewistocieu≡uenaUe.Jeśli

x∈Ue,to

ue(x)=∫

ne(x–y)u(y)dy

en∫

B(x,e)

n

|x–y|

u(y)dy

en∫

e)∫

∂B(x,r)

udSdr

Brak wyników

Równania różniczkowe cząstkowe

Treść książki

Znajdź bibliotekę blisko siebie, i uzyskaj dostęp do ebooka w systemie IBUK Libra