Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
Wtymceludlawszystkichfunkcjiwnależącychdozbiorudopuszczalnego
A:={w∈C2(¯
U)|w=gna∂U}
zdefiniujemyenergię,tj.funkcjonał
I[w]:=∫
U
1
2
|Dw|2–wfdx.
55
TWIERDZENIE17(ZasadaDirichleta).Załóżmy,żefunkcjau∈C2(¯
U)jestrozwią-
zaniemzagadnienia(46).Wówczas
(47)
Naodwrót,jeśliu∈Aspełniawarunek(47),tojestrozwiązaniemzagadnieniabrzego-
wego(46).
żeenergiaI[w]jestnajmniejszawłaśniedlaw=u.
Dowód.1.Wybierzmyw∈A.Zwarunku(46)wynika,że
Całkującprzezczęści,otrzymujemy
niemaskładnikazcałkąpobrzegu,gdyżu–w=g–g≡0na∂U.Stąd
(Wykorzystaliśmynierówności
Innymisłowy,jeślifunkcjau∈A,torównanie–∆u=fjestrównoważnetemu,
∫
U
|Du|2–ufdx=∫
0=∫
0=∫
U
Du·D(u–w)–f(u–w)dx;
≤∫
U
I[u]=min
(–∆u–f)(u–w)dx.
U
U
Du·Dw–wfdx
1
2
|Du|2dx+∫
w∈A
I[w].
U
1
2
|Dw|2–wfdx.
|Du·Dw|≤|Du||Dw|≤
1
2
|Du|2+
1
2
|Dw|2,
którewynikająznierównościCauchy’ego–SchwarzaiCauchy’ego,por.dodatekB.2).
Redukującwyrazypodobne,stwierdzamy,że
(48)
I[u]≤I[w]
(w∈A).
Ponieważu∈A,więc(47)wynikaz(48).
2.Naodwrót,załóżmy,żezachodziwarunek(47).Ustalmydowolnąfunkcjęv∈
C∞
c(U)ipołóżmy
i(t):=I[u+tv]
(t∈R).
