Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
53
Posługującsięwzorem(30),wnioskujemy,żewtedy
(43)
u(x)=–∫
∂B(0,1)
g(y)
∂G
∂v
(x,y)dS(y).
Zgodniez(41)
∂G
∂yi
(x,y)=
∂
∂yi
(y–x)–
∂yi
∂
(|x|(y–˜
x)).
Mamy
∂
∂yi
(x–y)=
nα(n)
1
|x–y|n
xi–yi
,
aponadto
∂
∂yi
(|x|(y–˜
x))=
nα(n)
–1
(|x||y–˜
yi|x|2–xi
x|)n
=–
nα(n)
1
yi|x|2–xi
|x–y|n
dlay∈∂B(0,1);stądzaśwynika,że
∂G
∂v
(x,y)=
Σ
i=1
n
yi
∂G
∂yi
(x,y)
=
nα(n)
–1
|x–y|n
1
Σ
i=1
n
yi((yi–xi)–yi|x|
2+xi)
=
nα(n)
–1
|x–y|n
1–|x|2
.
Zatemzrówności(43)otrzymujemyformułęreprezentacyjną
u(x)=
1–|x|2
nα(n)∫
∂B(0,1)
|x–y|n
g(y)
dS(y).
Przypuśćmyteraz,żefunkcjau—zamiast(42)—spełniazagadnieniebrzegowe
(44)
∆u=0wB
u=g
na∂B(0,r)
0(0,r),
dlapewnegor>0.Wtedy˜
u(x)=u(rx)jestrozwiązaniem(42),zezmienionymwa-
runkiembrzegowym˜
g(x)=g(rx).Zamieniajączmienne,otrzymujemywzórPoissona
(45)
u(x)=
r2–|x|2
nα(n)r∫
∂B(0,r)
|x–y|n
g(y)
dS(y)
(x∈B0(0,r)).
Funkcja
K(x,y):=
r2–|x|2
nα(n)r
|x–y|n
1
(x∈B0(0,r),y∈∂B(0,r))
jestjądremPoissonadlakuliB(0,r).
Wyprowadziliśmywzór(45),zakładając,żeistniejegładkierozwiązaniezagadnienia
(44).Twierdzimy,żeówwzóristotnieokreślarozwiązanie:
