Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
W1.ZBIORYIDZIAŁANIANANICH
13
ΠAjestzbioremzłożonymztychitylkotychelementów,którenależądo
każdegospośródzbiorównależącychdorodzinyA,toznaczyx∈ΠAwtedy
itylkowtedy,gdyx∈AdlakażdegozbioruA∈A.
Oczywiścieiloczyndwóch,trzechczy,ogólniej,skończeniewieluzbiorów,
możnałatwoprzedstawićwpostaciiloczynupewnejrodzinyzbiorów.Wtym
sensiepojęcieiloczynurodzinyzbiorówjestuogólnieniempojęciailoczynuzbio-
rów:
AΠB=Π{A,B},
AΠBΠC=Π{A,B,C}
itakdalej.
Zdefinicjiiloczynurodzinyzbiorówwynika,żex/∈ΠAwtedyitylkowtedy,
gdydorodzinyAnależytakizbiórA,żex/∈A.Towyjaśnia,dlaczegowdefinicji
iloczynuprzyjęliśmyzałożenie,żeA/=/O.JeślibowiemA=/O,tonieistnieje
wogóleżadenzbiórnależącydoA,awięctymbardziejzbiór,doktóregonie
należyx.Wynikawięcstądwszczególności,żekażdyzbiórnależydoΠA,ale,
jakstwierdziliśmywcześniej,nieistniejetakizbiór,doktóregonależąwszystkie
zbiory.
PRZYKŁAD1.9
(1)Π{/O}=/O.
(2)DladowolnegozbioruA,Π{A}=A.
(3)Π{{1,2,3,4},{3,4,5,6}}={3,4}.
(4)DladowolnegozbioruA,ΠP(A)=/O.
(5)Niech
WtedyΠA=/O.
Istotnie,niematakiejliczbyx,żex∈AdlakażdegozbioruA∈A.
Znaczyłobytobowiem,że0<x<1
jeślix>0orazn>1
A={A∈P(R):istniejen∈N,n/=0takie,żeA=(0,
x,tox>1
n.
ndlakażdejliczbyn∈N,n/=0.Ale
n)}.
1
Stwierdziliśmywcześniej,żezbiórAΠBjestnajwiększym(wsensiezawiera-
nia)zbiorem,zawartymwobuzbiorachAiB.Zachodzinastępująceuogólnienie
tegotwierdzenia.
TWIERDZENIE1.10.NiechAbędziedowolnąniepustąrodzinązbiorów.Wtedy
ΠAjestnajwiększym(wsensiezawierania)zbiorem,któryzawierasięwewszyst-
kichzbiorachnależącychdorodzinyA,tzn.spełnionesąwarunki:
(1)DlakażdegoA,jeśliA∈A,toΠA⊆A.
