Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
24
1.Naprężenie
gdzieI=
δ
iji
ii
joznaczatensorjednostkowy.Współrzędnetegotensoraokreśladelta
KRONECKERA.
Zapiszmypowyższerównaniewpostaciwskaźnikowej
V
ijj
n
1
G
ijj
n
o
(
V
ij
-
VG
ij
)
n
j
1
0
(1.23)
Wykorzystującumowęsumacyjnąorazfakt,iżswobodnywskaźnikiprzyjmuje
wartości1,2i3,zpowyższegorównaniatensorowegootrzymujemynastępujący
układtrzechrównań:
(
V
11
-
V
)
n
1
+
V
122
n
+
V
133
n
1
0
V
211
n
+
(
V
22
-
V
)
n
2
+
V
233
n
1
0
(1.24)
V
311
n
+
V
322
n
+
(
V
33
-
V
)
n
3
1
0
gdziewielkościamiposzukiwanymisąnaprężeniegłówne
σ
orazwspółrzędne
n
1,n
2,n
3wektoranormalnegon=n
ii
i.
Ponieważpowyższyukładrównańjestjednorodnyzewzględunawspółrzędne
n
1,n
2,n
3,maonzatemrozwiązanieniezerowetylkowtedy,gdywyznacznikmacierzy
utworzonejzewspółczynnikówprzyniewiadomychjestrównyzeru
V
11
-
V
V
21
V
31
V
12
V
22
-
V
V
32
V
13
V
23
1
0
V
33
-
V
(1.25)
Zpowyższegowarunkuwynikanastępującerównaniecharakterystyczne:
V
3
-
I
1
V
2
+
I
2
V
-
I
3
1
0
(1.26)
któregowspółczynnikiI
1,I
2,I
3,zwaneniezmiennikami
6tensoranaprężeń,mają
następującąpostać:
I
1
1
V
11
+
V
22
+
V
33
I
2
1
VV
11
22
+
VV
11
33
+
VV
22
33
-
V
12
2
-
V
13
2
-
V
23
2
I
3
1
VVV
11
22
33
+
2
VVV
12
13
23
-
VV
11
23
2
-
VV
22
13
2
-
VV
3312
2
(1.27)
Zuwaginasymetrięmacierzynaprężeń,powyższerównaniematrzypierwiastki
rzeczywiste
σ
1,
σ
2,
σ
3;każdemuztychpierwiastków(naprężeńgłównych)jest
przyporządkowanykierunekgłównyokreślonyodpowiedniowektoremnormalnym
n
1,n
2,n
3.
6Wartościniezmiennikówtensoraniezmieniająsięprzyobrocieukładuodniesienia.
