Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
43
iniechαbędziewielowskaźnikiemdługości|α|=k.WtedyDαu=(Dβu)x
idlapew-
nychi∈{1,...,n},|β|=k–1.Przeprowadzającrachunekpodobnydo(20),stwier-
dzamy,że
|Dαu(x0)|≤
nk
r
DβuL∞(∂B(x
0,r/k)).
Jeślix∈∂B(x0,
k),toB(x,k–1
r
kr)⊂B(x0,r)⊂U.Mamyzatem,namocy(18)
i(19)dlak–1,
|Dβu(x)|≤
(2n+1n(k–1))k–1
α(n)(
k–1
kr)
n+k–1uL1(B(x
0,r)).
Łączącdwieostatnienierówności,uzyskujemyoszacowanie
(21)
|Dαu(x0)|≤
(2n+1nk)k
α(n)rn+k
uL1(B(x
0,r)).
Wynikastąd,że(18)i(19)zachodządla|α|=k.
Π
d.TwierdzenieLiouville’a
Przekonamysięteraz,żeniemanietrywialnychfunkcjiograniczonych,którebyłyby
harmonicznenacałejprzestrzeniRn.
TWIERDZENIE8(TwierdzenieLiouville’a).Jeślifunkcjau:Rn→Rjestharmo-
nicznaiograniczona,tojeststała.
Dowód.Ustalmyx0∈Rnir>0,anastępniezastosujmytwierdzenie7wkuliB(x0,r):
|Du(x0)|≤
C1√n
rn+1
uL1(B(x
0,r))
≤
C1α(n)√n
r
uL∞(Rn)→0,
gdyr→∞.ZatemDu≡0,więcujeststała.
Π
TWIERDZENIE9(ReprezentacjarozwiązańrównaniaPoissona).Załóżmy,żef∈
C2
c(Rn)in≥3.Wtedykażdeograniczonerozwiązanierównania
–∆u=f
wRn
mapostać
u(x)=∫
Rn
(x–y)f(y)dy+C
(x∈Rn)
dlapewnejstałejC.
Dowód.Ponieważ(x)→0dla|x|→∞in≥3,więc˜
u(x):=∫
Rn(x–y)f(y)dy
jestograniczonymrozwiązaniemrównania–∆u=fwRn.Jeśliujestinnymrozwią-
zaniem,tofunkcjaw:=u–˜
ujeststałanamocytwierdzeniaLiouville’a.
Π
