Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
50
2.Czteryważnerównanialiniowe
DEFINICJA.FunkcjąGreenadlapółprzestrzeniRn
+jest
G(x,y):=(y–x)–(y–˜
x)
(x,y∈Rn
+,x/=y).
Mamy
∂G
∂yn
(x,y)=
∂yn
∂
(y–x)–
∂yn
∂
(y–˜
x)
=
nα(n)
–1
|y–x|n
yn–xn
–
|y–˜
yn+xn
x|n.
Zatemdlay∈∂Rn
+zachodzirówność
∂G
∂v
(x,y)=–
∂yn
∂G
(x,y)=–
nα(n)
2xn
|x–y|n
1
.
Przypuśćmy,żeujestrozwiązaniemzagadnieniabrzegowego
(32)
∆u=0wRn
u=g
na∂Rn
+,
+.
Przezanalogiędo(30)spodziewamysię,że
(33)
Funkcja
u(x)=
nα(n)∫
2xn
∂Rn
+
|x–y|n
g(y)
dy
(x∈Rn
+).
K(x,y):=
nα(n)
2xn
|x–y|n
1
(x∈Rn
+,y∈∂Rn
+)
jestjądremPoissonadlaRn
+,awzór(33)nazywasięwzoremPoissona.
Musimyterazsprawdzić,żewzór(33)rzeczywiścieokreślarozwiązaniezagadnienia
brzegowego(32).
TWIERDZENIE14(WzórPoissonadlapółprzestrzeni).Załóżmy,żeg∈C(Rn–1)∩
L∞(Rn–1)iokreślmyfunkcjęuwzorem(33).Wówczas
(ii)∆u=0
(i)u∈C∞(Rn
+)∩L∞(Rn
wRn
+,
+),
aponadto
(iii)lim
x→x0
x∈Rn
+
u(x)=g(x0)
dlakażdegopunktux0∈∂Rn
+.
Dowód.1.Dlakażdegoustalonegopunktuxfunkcjayl→G(x,y)jestharmoniczna
dlay/=x.PonieważG(x,y)=G(y,x)namocytwierdzenia13,więcxl→G(x,y)
jestharmonicznadlax/=y.Zatemxl→–∂G
∂yn(x,y)=K(x,y)jestharmonicznadla
x∈Rn
+,y∈∂Rn
+.
