Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
52
2.Czteryważnerównanialiniowe
c.FunkcjaGreenadlakuli
AbyskonstruowaćfunkcjęGreenadlakulijednostkowejB(0,1),posłużymysię
znówpewnegorodzajuodbiciem—tymrazemwzględemsfery∂B(0,1).
DEFINICJA.Jeślix∈Rn\{0},topunkt
x=
˜
|x|2
x
nazywamyobrazeminwersyjnymxwzględem∂B(0,1).Odwzorowaniexl→˜
xjestin-
wersjąwzględemsferyjednostkowej∂B(0,1).
WykorzystamyinwersjędowyznaczeniafunkcjiGreenadlakulijednostkowejU=
B0(0,1).Ustalmyx∈B0(0,1).Przypomnijmy:musimyznaleźćpoprawkęφx=φx(y),
którajestrozwiązaniemzagadnienia
(37)
∆φ
φx=(y–x)
x=0
wB0(0,1),
na∂B(0,1);
funkcjaGreenajestokreślonawzorem
(38)
G(x,y)=(y–x)–φx(y).
Pomysłpoleganatym,by„przenieśćosobliwość”zpunktux∈B0(0,1)dojego
obrazuinwersyjnego˜
x/
∈B(0,1).Przypuśćmy,żen≥3.Odwzorowanieyl→(y–˜
x)
jestharmonicznedlay/=˜
x.Zatemyl→|x|2–n(y–˜
x)jestharmonicznedlay/=˜
x,a
więcfunkcja
(39)
φx(y):=(|x|(y–˜
x))
jestharmonicznawkuliU.Ponadto,jeśliy∈∂B(0,1)ix/=0,to
|x|2|y–˜
x|2=|x|2|y|2–
2y·x
|x|2
+
|x|2
1
=|x|2–2y·x+1=|x–y|2.
Zatem(|x||y–˜
x|)–(n–2)=|x–y|–(n–2),stądzaś
(40)
φx(y)=(y–x)
(y∈∂B(0,1)),
takjakchcieliśmy.
DEFINICJA.FunkcjąGreenadlakulijednostkowejjest
(41)
G(x,y):=(y–x)–(|x|(y–˜
x))
(x,y∈B(0,1),x/=y).
Tensamwzórobowiązujetakżedlan=2.
Przypuśćmyteraz,żeujestrozwiązaniemzagadnieniabrzegowego
(42)
∆u=0wB
u=g
w∂B(0,1).
0(0,1),
