Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
2.Bezpośrednimrachunkiem,któregoszczegółypomijamy,sprawdzasię,że
51
1=∫
∂Rn
+
K(x,y)dy
dlakażdegox∈Rn
+.Funkcjagjestograniczona,więcfunkcjauokreślonawzorem(33)
teżjestograniczona.Ponieważfunkcjaxl→K(x,y)jestgładkadlax/=y,więcłatwo
sprawdzamy,żetakżeu∈C∞(Rn
+),aprzytym
(34)
∆u(x)=∫
∂Rn
+
∆xK(x,y)g(y)dy=0
(x∈Rn
+).
(35)
Wówczas,jeśli|x–x0|<δ
(36)
Zwarunków(34)i(35)wynika,że
Ponadto,jeśli|x–x0|≤δ
awięc|y–x|≥1
3.Ustalmyterazx0∈∂Rn
|u(x)–g(x0)|=
2|y–x0|.Zatem
|g(y)–g(x0)|<e
|y–x0|≤|y–x|+
2i|y–x0|≥δ,tomamy
2ix∈Rn
+ie>0.Dobierzmyliczbęδ>0tak,aby
≤∫
=:I+J.
I≤e∫
ł
ł∫
ł
ł
+∫
∂Rn
∂Rn
+∩B(x0,δ)
+,to
+
∂Rn
∂Rn
K(x,y)[g(y)–g(x0)]dy
+\B(x0,δ)
+
dla|y–x0|<δ,y∈∂Rn
K(x,y)dy=e.
δ
2
≤|y–x|+
K(x,y)|g(y)–g(x0)|dy
K(x,y)|g(y)–g(x0)|dy
1
2
|y–x0|,
ł
ł
ł
ł
+.
J≤2gL∞∫
∂Rn
+\B(x0,δ)
K(x,y)dy
≤
2n+2gL∞xn
nα(n)
∫
∂Rn
+\B(x0,δ)
|y–x0|–ndy
→0
dlaxn→0
+.
Łącząctenrachunekzoszacowaniem(36),przekonujemysię,że|u(x)–g(x0)|≤2e,
oileliczba|x–x0|jestdostateczniemała.
Π
