Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.3.Równanieprzewodnictwacieplnego
59
Zauważmy,żemaosobliwośćwpunkcie(0,0).Piszemyczasem(x,t)=
(|x|,t),bypodkreślić,żerozwiązaniepodstawowezależyodzmiennejxwsposób
radialny.Przyczynadoborustałejnormalizującej(4π)–n/2jestnastępująca:
LEMAT(Całkarozwiązaniapodstawowego).Dlakażdegot>0mamy
∫
Rn
(x,t)dx=1.
Dowód.ZamieniajączmienneistosująctwierdzenieFubiniego,obliczamy
∫
Rn
(x,t)dx=
(4πt)n/2∫
1
Rn
e–
|x|2
4tdx
=
πn/2∫
1
Rn
e–|z|
2
dz
=
πn/2
1
Π
i=1
n
∫
–∞
∞
e–z
2
idzi=1.
Π
Innewyprowadzeniepodstawowegorozwiązaniarównaniaprzewodnictwacieplnego
możnaznaleźćwpunkcie4.3.1.
b.Zagadnieniepoczątkowe
Wykorzystamyterazfunkcję,bywskazaćrozwiązaniezagadnieniapoczątkowego
(inaczej:zagadnieniaCauchy’ego)
(8)
ut–∆u=0wR
u=g
naRn×{t=0}.
n×(0,∞),
Zauważmy,że(x,t)l→(x,t)jestrozwiązaniemrównaniaprzewodnictwaciepl-
negozdalaodosobliwościwpunkcie(0,0),awięcdlaustalonegoy∈Rnfunkcja
(x,t)l→(x–y,t)teżjestrozwiązaniem.Zatemsplot
u(x,t)=∫
Rn
(x–y,t)g(y)dy
(9)
=
(4πt)n/2∫
1
Rn
e–
|x–y|2
4t
g(y)dy
(x∈Rn,t>0)
równieżpowinienbyćrozwiązaniem.
TWIERDZENIE1(Rozwiązaniezagadnieniapoczątkowego).Załóżmy,żeg∈C(Rn)∩
L∞(Rn)iokreślmyfunkcjęuwzorem(9).Wówczas
(i)u∈C∞(Rn×(0,∞)),
(ii)ut(x,t)–∆u(x,t)=0(x∈Rn,t>0),
aponadto
(iii)
lim
u(x,t)=g(x0)dlakażdegopunktux0∈Rn.
(x,t)→(x0,0)
x∈Rn,t>0
