Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
58
Toznaczychcemy,żeby
2.Czteryważnerównanialiniowe
u(x,t)=λαu(λβx,λt)
dlawszystkichλ>0,x∈Rnit>0.Kładącλ=t–1,otrzymujemy(4),przyczym
v(y):=u(y,1).
Wstawiając(4)do(1),otrzymujemy
(5)
αt–(α+1)v(y)+βt–(α+1)y·Dv(y)+t–(α+2β)∆v(y)=0,
gdziey:=t–βx.Abyprzekształcić(5)wrówność,wktórejbędziewystępowaćtylko
zmiennay,kładziemyβ=1
2.Wtedywkażdymskładnikuzmiennatwystępujewtej
samejpotędze,więc(5)sprowadzasiędorównania
αv+
1
2
y·Dv+∆v=0.
Dokonamyterazkolejnegouproszczenia,przyjmując,żevjestfunkcjąradialną,tzn.
v(y)=w(|y|)dlapewnejfunkcjiw:R→R.Równanie(6)przybierzepostać
(6)
αw+
2
1
rw,+w,,+
n–1
r
w,=0,
gdzier=|y|,
,=d
dr.Jeśliterazpołożymyα=n
2,toostatnierównaniebędziemożna
zapisaćprościej:
(rn–1w,),+
1
2
(rnw),=0.
Stąd
rn–1w,+
1
2
rnw=a
dlapewnejstałeja.Zakładając,żelimr→∞rnw(r)=limr→∞rn–1w,=0,stwierdzamy,
żea=0;stądzaś
w,=–
1
2
rw.
Wtedyjednakdlapewnejstałejbmamy
(7)
w=be–
r2
4.
Łącząc(4)i(7)orazpamiętając,jakdobieraliśmyα,β,wnioskujemy,żefunkcja
tn/2e–
b
|x|2
4t
jestrozwiązaniemrównaniaprzewodnictwacieplnego(1).
Powyższyrachunekmotywujenastępującądefinicję:
DEFINICJA.Funkcję
(x,t):=1
0
(4πt)n/2e–
|x|2
4t
(x∈Rn,t>0),
(x∈Rn,t<0)
nazywamyrozwiązaniempodstawowymrównaniaprzewodnictwacieplnego.
