Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
60
2.Czteryważnerównanialiniowe
Dowód.1.Ponieważdladowolnegoδ∈(0,1)funkcja1
tn/2e–
|x|2
4t
jestróżniczkowalna
nieskończeniewielerazynazbiorzeRn×[δ,1/δ],ajejpochodnecząstkowedowol-
negoustalonegorzędusąnatymzbiorzewspólnieograniczoneprzezpewnąfunkcję
całkowalnązmiennejx∈Rn,więcu∈C∞(Rn×(0,∞)).Ponadto
ut(x,t)–∆u(x,t)=∫
Rn
[(t–∆x)(x–y,t)]g(y)dy
(10)
=0
(x∈Rn,t>0),
gdyżfunkcjasamaspełniarównanieprzewodnictwacieplnego.
(11)
Jeśli|x–x0|<δ
Zauważmy,że
namocy(11)ilematu.Ponadto,jeśli|x–x0|≤δ
Zatem|y–x|≥1
2.Ustalmyx0∈Rnie>0.Dobierzmyδ>0tak,aby
|u(x,t)–g(x0)|=
2,tozlematuotrzymujemy
2|y–x0|,stądzaś
|g(y)–g(x0)|<e,
|y–x0|≤|y–x|+
J≤2gL∞∫
I≤e∫
≤∫
=:I+J.
ł
ł∫
ł
ł
B(x0,δ)
Rn
+∫
Rn\B(x0,δ)
(x–y,t)[g(y)–g(x0)]dy
Rn
Rn–B(x0,δ)
(x–y,t)|g(y)–g(x0)|dy
(x–y,t)dy=e,
jeśli|y–x0|<δ,y∈Rn.
δ
2
(x–y,t)dy
≤|y–x|+
(x–y,t)|g(y)–g(x0)|dy
2i|y–x0|≥δ,to
1
2
|y–x0|.
ł
ł
ł
ł
≤
tn/2∫
C
Rn\B(x0,δ)
e–
|x–y|2
4t
dy
≤
tn/2∫
C
Rn\B(x0,δ)
e–
|y–x0|2
16t
dy
=
tn/2∫
C
δ
∞
e–
16trn–1dr→0
r2
dlat→0+.
Jeżeliwięc|x–x0|<δ
2it>0jestdostateczniemałe,to|u(x,t)–g(x0)|<2e.
Π
