Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
62
2.Czteryważnerównanialiniowe
tym,byrozważyćfunkcję
u(x,t)=∫
0
t
u(x,t;s)ds
(x∈Rn,t≥0).
Podstawiającwcześniejszywzórnau(x,t;s),otrzymujemy
u(x,t)=∫
0∫
t
Rn
(x–y,t–s)f(y,s)dyds
=∫
0
t
(4π(t–s))n/2∫
1
Rn
e
–
|x–y|2
4(t–s)f(y,s)dyds,
dlax∈Rn,t>0.
Abyprzekonaćsię,żewzór(13)działanależycie,załóżmydlaprostoty,żef∈
C2
1(Rn×[0,∞))ifmazwartynośnik.
(13)
TWIERDZENIE2(Rozwiązaniezagadnienianiejednorodnego).Jeślifunkcjaujest
określonawzorem(13),to
(i)u∈C2
1(Rn×(0,∞)),
(ii)ut(x,t)–∆u(x,t)=f(x,t)
(x∈Rn,t>0),
aponadto
(iii)
lim
u(x,t)=0
dlakażdegopunktux0∈Rn.
(x,t)→(x0,0)
x∈Rn,t>0
Dowód.1.Funkcjamaosobliwośćwpunkcie(0,0),więcniemożemyodrazuprzejść
doróżniczkowaniapodznakiemcałki.Zamiasttegopostąpimymniejwięcejtak,jak
wdowodzietwierdzenia1wpunkcie2.2.1.
Najpierwdokonamyzamianyzmiennychizapiszemy
u(x,t)=∫
0∫
t
Rn
(y,s)f(x–y,t–s)dyds.
Ponieważf∈C2
1(Rn×[0,∞))mazwartynośnik,a=(y,s)jestfunkcjągładką
wotoczeniuzbiorus=t>0,więc
ut(x,t)=∫
0∫
t
Rn
(y,s)ft(x–y,t–s)dyds
+∫
Rn
(y,t)f(x–y,0)dy,
aponadto
∂xi∂xj
∂2u
(x,t)=∫
0∫
t
Rn
(y,s)
∂xi∂xj
∂2
f(x–y,t–s)dyds
(i,j=1,...,n).
ZatemfunkcjeutiD2
xu,awśladzanimitakżeuiDxu,sąciągłenazbiorzeRn×(0,∞).
