Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.3.Równanieprzewodnictwacieplnego
61
Uwagi.(i)Biorącpoduwagętwierdzenie1,piszemyczasem
t–∆=0
=δ0
wRn×(0,∞),
naRn×{t=0},
gdzieδ0oznaczamiaręDiracanaRn,przypisującąjednostkowąmasępunktowi0.
(ii)Zauważmy,żejeśligjestograniczona,ciągła,g≥0,g/≡0,tofunkcja
u(x,t)=
(4πt)n/2∫
1
Rn
e–
|x–y|2
4t
g(y)dy
jestwistociedodatniadlawszystkichpunktówx∈Rnidowolnegoczasut>0.Potoczna
interpretacjategospostrzeżeniajestnastępująca:równanieprzewodnictwacieplnegowy-
muszanieskończonąprędkośćrozchodzeniasięzaburzeń.Jeśliwchwilipoczątkowej
temperaturajestnieujemnainapewnymobszarzejestdodatnia,towdowolnejchwili
późniejszej—bezwzględunato,jakkrótkiczasupłynął—temperaturawszędziejest
dodatnia.(Dowiemysiępóźniejwpunkcie2.4.3,żedlarównaniafalowegojestinaczej:
zaburzeniarozchodząsięzeskończonąprędkością).
Π
c.Zagadnienieniejednorodne
Zajmijmysięterazniejednorodnymzagadnieniempoczątkowym
(12)
ut–∆u=fwR
u=0
naRn×{t=0}.
n×(0,∞),
Cozrobić,byuzyskaćwzórnarozwiązanie?Jeśliprzypomnimysobie,jakiegoro-
dzajuintuicjapowiodłanasdowzoru(9),topowinniśmyteżzauważyć,żeodwzorowanie
(x,t)l→(x–y,t–s)jest(dlazadanychy∈Rn,0<s<t)rozwiązaniemrównania
przewodnictwacieplnego.Dladowolnegoustalonegosfunkcja
u=u(x,t;s)=∫
Rn
(x–y,t–s)f(y,s)dy
jestrozwiązaniemzagadnienia
(12s)
ut(·;s)–∆u(·;s)=0
u(·;s)=f(·,s)
wRn×(s,∞),
naRn×{t=s},
toznaczypoprostuzagadnieniapoczątkowegopostaci(8),wktórymczasjestmierzony
nieodchwilit=0,leczpocząwszyodt=s,azamiastfunkcjigwystępujef(·,s).
Zatemu(·;s)zpewnościąniejestrozwiązaniemzagadnienia(12).
JednakżezzasadyDuhamela∗wynika,żerozwiązaniezagadnienia(12)możnazbu-
dowaćzrozwiązańrodzinyzagadnień(12s),całkującwzględems.Pomysłpolegana
∗ZasadaDuhamelaznajdujelicznezastosowaniawteoriiliniowychrównańróżniczkowychinieza-
leżyodstrukturyrównaniaprzewodnictwacieplnego.Posługującsiętązasadą,możnanp.wyznaczyć
rozwiązanieniejednorodnegorównaniatransportu,znalezionewpunkcie2.1.2innymsposobem;wpunk-
cie2.4.2zastosujemyzasadęDuhameladorównaniafalowego.
