Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.3.Równanieprzewodnictwacieplnego
2.Następnieobliczymy
ut(x,t)–∆u(x,t)=∫
0∫
t
Rn
(y,s)[(
∂t
∂
–∆x)f(x–y,t–s)]dyds
63
+∫
Rn
(y,t)f(x–y,0)dy
(14)
Namocylematu
(15)
Całkującprzezczęści,przekonujemysię,że
(16)
gdyżspełniarównanieprzewodnictwacieplnego.Łącząc(14),(15)i(16),otrzymu-
jemy
|Je|≤(ftL∞+D
ut(x,t)–∆u(x,t)=lim
Ie=∫
=∫
e∫
Rn
+∫
–∫
t
(y,e)f(x–y,t–e)dy–K,
Rn(
=∫
=:Ie+Je+K.
Rn
Rn
(y,e)f(x–y,t–e)dy
(y,t)f(x–y,0)dy
e∫
∂s
+∫
+∫
t
∂
Rn
–∆y)(y,s)f(x–y,t–s)dyds
0∫
Rn
e
2fL∞)∫
(y,s)[(–
(y,t)f(x–y,0)dy.
e→0∫
Rn
(y,s)[(–
Rn
(y,e)f(x–y,t–e)dy
0∫
e
∂s
∂
Rn
–∆y)f(x–y,t–s)]dyds
(y,s)dyds≤eC.
∂s
∂
–∆y)f(x–y,t–s)]dyds
=f(x,t)
(x∈Rn,t>0)
(granicęprzye→0obliczasiętaksamo,jakwdowodzietwierdzenia1).Wreszcie
zauważmy,żeu(·,t)L∞≤tfL∞→0dlat→0.
Π
Uwaga.Ztwierdzeń1i2wynika,żefunkcja
(17)
u(x,t)=∫
Rn
(x–y,t)g(y)dy+∫
0∫
t
Rn
(x–y,t–s)f(y,s)dyds
