Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.3.Równanieprzewodnictwacieplnego
65
podstawowego(x–y)równaniaLaplace’a.Towskazuje,żetymrazemdlaustalonego
(x,t)istotnąrolęodgrywaćmogąpoziomicerozwiązaniapodstawowego(x–y,t–s)
równaniaprzewodnictwacieplnego.
DEFINICJA.Dlaustalonychx∈Rn,t∈Rir>0połóżmy
E(x,t;r):=(y,s)∈Rn+1|s≤t,(x–y,t–s)≥
rn.
1
ZbiórE(x,t;r)nazywanyjestczasem„kulącieplną”(rys.2.2).Jesttopodzbiór
„czasoprzestrzeni”ograniczonypoziomicąfunkcji(x–y,t–s).Zauważmy,żepunkt
(x,t)znajdujesięnabrzegu„kulicieplnej”.
Rys.2.2.„Kulacieplna”
TWIERDZENIE3(Własnośćwartościśredniejdlarównaniaprzewodnictwaciepl-
nego).Niechu∈C2
1(UT)będzierozwiązaniemrównaniaprzewodnictwacieplnego.
Wówczas
(19)
u(x,t)=
4rn∫∫
1
E(x,t;r)
u(y,s)
|x–y|2
(t–s)2
dyds
dlakażdegoE(x,t;r)⊂UT.
Dlarównaniaprzewodnictwacieplnegowzór(19)jestodpowiednikiemwłasności
wartościśredniejfunkcjiharmonicznych.Zauważmy,żepoprawejstroniewartości
u(y,s)pojawiająsiętylkodlas≤t.Niemawtymnicdziwnego;wszakwartość
u(x,t)niepowinnazależeć„odprzyszłości”.
Dowód.Przesuńmywszystkiewspółrzędnetak,abyx=0it=0.Bezzmniejszenia
ogólnościmożemyzałożyć,żefunkcjaujestgładka(wraziepotrzebywygładzamyją,
stosującsplot).PołóżmyE(r)=E(0,0;r);niech
(20)
φ(r):=
rn∫∫
1
E(r)
u(y,s)
|y|2
s2
dyds
=∫∫
E(1)
u(ry,r2s)
|y|2
s2
dyds.
