Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.6.Modalnapostaćtrajektoriistanuwprzypadkupojedynczychwartościwłasnych...
33
Każdyzeskładnikówostatniejsumyw(2.36)jestnazywanymodem.Wkażdymzmodów
możnawyróżnićskładowąswobodnąmodu
iwymuszoną
.
Modyskładowejswobodnej
Przyjrzyjmysiędokładniejzachowaniuskładowejswobodnej,czyliruchowiwektora
stanuprzyzerowymwymuszeniu,opisanemuprzezrównanie(2.6).
Modorzeczywistejwartościwłasnej
Owłaściwościachdynamicznych(zmianiewczasie)składowejswobodneji-tegomodu
decydujejednawartośćwłasnamacierzystanu
.Iloczyn
jest
skalarem(liczbą),więci-tymodopisujeruchwektorastanuwkierunkuwektorawłasne-
go
.Jeżeliwartośćwłasna
jestrzeczywista,tozwiązanyzniąwektorwłasny
też
jestrzeczywisty.Wyznaczaonprostąwprzestrzenistanu,ai-tymodjestrzutemwektora
stanunatęprostą.
•Jeśli
,toskładowaswobodnai-tegomodu(lub,jeśliwolimy,i-tymodskła-
dowejswobodnejwektorastanu)poruszasiępoprostejwyznaczonejprzezwektor
własny
wkierunkupoczątkuukładuwspółrzędnychwaperiodycznysposób,
określonyprzezfunkcję
.Imwiększyjestmoduł
(imbardziejnalewo
odpunktu0leżywartośćwłasna
),tymszybszyjesttenruch.Jakożewtym
przypadkumodzanikadozera,mówimy,żejeststabilnyalbożewartośćwłasna
związanaztymmodemjeststabilna.
•Jeśli
,toskładowaswobodnai-tegomoduporuszasiępoprostejwyznaczonej
przezwektorwłasny
,oddalającsięodpoczątkuukładuwspółrzędnychwaperio-
dycznysposób,określonyprzezfunkcję
.Imwiększajestwartość
,tymszyb-
szyjesttenruch.Jakożewtymprzypadkumoddążydonieskończoności,mówimy,
żejestniestabilny,albożewartośćwłasnazwiązanaztymmodemjestniestabilna.
•Jeśli
,toskładowaswobodnai-tegomoduniezmieniasięipozostajewpunk-
cie
.
Jeżeliwarunekpoczątkowy
wybierzemynakierunku(rzeczywistego!)wektora
własnego
,tj.
,todladowolnegoinnegomodumamy
(2.37)
(zuwaginato,żezgodniez(2.25)
),czyliprzytakichwarunkachpoczątkowych
wtrajektoriistanuwystąpitylkojeden,i-tymoditrajektoriabędzieprostoliniowa.Jeżeli
wszystkiewartościwłasnesąrzeczywisteiujemne,totrajektoriawektorastanu,rozpo-
czynającasięzdowolnychwarunkówpoczątkowych,jestzłożeniemwszystkichmodów
(ruchówwkierunkachwyznaczonychprzezwektorywłasne)iwkońcowymodcinku
będziestycznadoprostej„najwolniejszego”zmodów.Przedstawionaanalizaznajduje
potwierdzeniewprzykładowychtrajektoriachpokazanychnarysunku2.2.
