Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
22
1.Naprężenie
p=T⋅n
gdzie
T=
σ
jii
ii
j
(1.14)
(1.15)
jesttensoremnaprężeńCAUCHY’EGO
4,natomiast
σ
ji=i
i⋅T⋅i
jsąjegowspółrzędnymi.
Zrelacji(1.14)wynika,żetensornaprężeńjestodwzorowaniem(operatorem,prze-
kształceniem)przyporządkowującymwektorowinormalnemuwektornaprężenia.
Jeśliwięcznamytensor(macierz)naprężeńwdanympunkcieciała,tomożemy
wyznaczyćwektornaprężenianadowolnejpłaszczyźnieprzechodzącejprzezten
punkt.Takwięctensornaprężeńokreślastannaprężeniawpunkcie.
Wykorzystanieumowysumacyjnej(C.6)pozwalaprzedstawićtensornaprężeń
(1.15)wnastępującejpostaci:
T
1
V
1111
ii
+
V
2121
ii
+
V
3131
ii
+
V
1212
ii
+
V
2222
ii
+
V
3
2
ii
3
2
+
V
1313
ii
+
V
2
3
ii
2
3
+
V
3333
ii
(1.16)
Abyzapisaćrelację(1.14)wpostaciwskaźnikowej,pomnożymystronamizwiązek(1.13)
skalarnieprzezwersori
korazwykorzystamyzależnośći
j⋅n=n
j.Otrzymamywtedy
i
k
|
p
1
V
ijk
i
|
iin
ij
|
1
VG
ijki
n
j
1
V
kj
n
j
gdzie
G
ki
1
i
k
|
i
i
(1.17)
(1.18)
oznaczasymbol(deltę)KRONECKERA
5(C.3).W(1.17)uwzględnionofakt,iż
σ
ij
δ
ki=
σ
kj,
gdyżdeltaKRONECKERAzmieniawskaźnikiwspółrzędnychtensorów(patrzprzy-
kładC.2).
Ponieważi
j⋅p=p
i,to(1.17)przyjmujepostać
p
i=
σ
ijn
j
(1.19)
gdziewskaźnikkzamieniononai.Jeśliwykorzystamyumowęsumacyjnąoraz
fakt,iżswobodnywskaźnikiprzyjmujewartości1,2i3,topowyższązależność
tensorowąmożemyprzedstawićjako:
p
1
1
V
111
n
+
V
122
n
+
V
133
n
p
2
1
V
211
n
+
V
222
n
+
V
233
n
p
3
1
V
311
n
+
V
322
n
+
V
333
n
4AUGUSTINLOUISCAUCHY(1789-1857)-francuskimatematyk.
5LEOPOLDKRONECKER(1823--1891)-niemieckimatematyk.
(1.20)
