Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2.2.Równaniageometryczne.Tensorodkształceń
43
Jakomiaręodkształceniaciaławdanympunkciexmożemyprzyjąćróżnicęodle-
głościmiędzyrozważanymipunktamipoodkształceniuiprzedodkształceniem
lub-cojestwygodniejsze-różnicękwadratówtychodległości,czyli[2.1]
d
x
!
|
d
x
!
-
d
x
|
d
x
1
dxdx
!
k
!
k
-
G
ij
dxdx
i
j
Ponieważz(2.5)wynika,że
(2.6)
dxdx
!
k
!1
k
(
u
ki
9
+
G
ki
)(
u
kj
9
+
G
kj
)
dxdx
i
j
1
(
uu
ki
9
kj
9
+
u
ji
9
+
u
ij
9
+
G
ij
)
dxdx
i
j
(2.7)
topodstawiającpowyższewyrażeniedo(2.6),otrzymujemy
d
x
!
|
d
x
!
1
(
uu
ki
9
kj
9
+
u
ji
9
+
u
ij
9
)
dxdx
i
j
+
d
x
|
d
x
(2.8)
Powyższązależnośćmożnaprzedstawićwniecoinnej,łatwiejszejwinterpretacji
postaci,amianowicie[2.2]:
dxdx
!
i
|
!
j
1
(2
e
ij
+
G
ij
)
dxdx
i
j
lub
d
x
!
|
d
x
!
1
d
x
|
(2
E
+
I
)
|
d
x
(2.9)
(2.10)
gdzie
edxdx
ij
i
j
1
d
xE
|
|
d
x,
G
ij
dxdx
i
j
1
d
xI
||
d
x,przyczym
I
1
G
ijij
iioznaczaten-
sorjednostkowy,natomiast
e
ij
1
1
2(
u
ij
9
+
u
ji
9
+
uu
ki
9
kj
9
)
(2.11)
sąwspółrzędnymitensoraodkształceń
E
1
e
ijij
ii.Zzależności(2.10)wynika,żetensor
tenprzyporządkowujekwadratowidługościwektoradxwkonfiguracjipoczątkowej
(nieodkształconej)kwadratdługościwektoradx!wkonfiguracjikońcowej(od-
kształconej).Ponieważwielkośćtawkażdympunkciebryłyjestzależnaodkierunku
wektoradx,totensorodkształceńEokreślastanodkształceniawpunkcie[2.3].
Współrzędnetensoraodkształceńsąokreślonerównaniamigeometrycznymi(2.11),
zktórychwynika,żetensorodkształceńjestnieliniowąfunkcjąpochodnychprze-
mieszczeń(nieliniowośćgeometryczna).Powodujetodużetrudnościobliczeniowe.
Ponieważjednakwprzypadkuwiększościkonstrukcjibudowlanychpochodneprze-
mieszczeńsąbardzomałe,związki(2.11)możnazlinearyzować.
Przyjmujączatem,że
uu
ki
9
kj
9
<<
u
ij
9
,pomijamywzależności(2.11)iloczyny
uu.
ki
9
kj
9
Otrzymamywtensposóbwyrażenie
H
ij
1
1
2(
u
ij
9
+
u
ji
9
)
(2.12)
