Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
1020Innereprezentacjerotacji
29
KątyEulerasąprzykłademlokalnejparametryzacjigrupyS0(3)[103].Takjak
wprzypadkureprezentacjioś/kąttakżetutajwystępująprzedstawionewyżejosobliwo-
ścitejreprezentacji.Nieistniejeglobalnerozwiązaniezagadnieniawyznaczaniakątów
EuleranapodstawiemacierzyR,tzn.niemożnawyeliminowaćosobliwościzdowolnej
trójelementowejreprezentacjigrupyS0(3).
1.2.3.Kwaternionyjednostkowe
TerminkwaternionwprowadziłHamiltonw1840roku,około70latpowprowadzeniu
przezEuleraczteroelementowejreprezentacjiorientacjibryłysztywnej.Kwaterniony
sąuogólnieniemliczbzespolonych[105,154].Mogąbyćstosowanedoopisurotacji,
podobniejakliczbyzespolonedoreprezentacjiobrotównapłaszczyźnie.Wprzeciwień-
stwiedokątówEulerakwaternionyumożliwiająglobalnąparametryzacjęgrupyS0(3),
aledoreprezentacjirotacjinależywykorzystaćczteryzmienne.
Elementzbiorukwaternionówjestzdefiniowanynastępująco:
Q1n+81i+82j+83k9
(1.35)
gdziei,j,ksąwersoramiortogonalnegoukładuwspółrzędnych.Częściejjednakstosuje
siębardziejzwartyzapis:
Q1{n96}9
(1.36)
gdzien∈Rijestskładowąskalarną,a61[818283]T∈R3ijestskładowąwektorową
kwaternionu.
KwaternionsprzężonyzQjestokreślonynastępująco:
Q∗1{n916}.
(1.37)
DladwóchkwaternionówQ11{n1961},Q21{n2962}jestzdefiniowanaoperacja
dodawania/odejmowania
Q1±Q21{n1±n2961±62}
orazmnożenia,którapoprzekształceniachalgebraicznychuzyskujepostać:
Q1∗Q21{n1n216
T
1629n162+n261+61×62}.
(1.38)
(1.39)
Mnożeniekwaternionówjestłączneirozdzielnewzględemdodawania/odejmowania,
aleniejestprzemienne.Zbiórkwaternionówtworzygrupęzewzględunaoperację
mnożenia.Możnapokazać,żekwaternionodwrotnyjestokreślonywzorem:Q111
Q∗/"Q"2orazżeelementemjednostkowymdlamnożeniajestQ1{190}.
KwaternionQ1{n96}nazywamykwaternionemjednostkowym,jeżelispełniaza-
leżność
"Q"1dn2+82
1+82
2+82
311.
(1.40)
Związekkwaternionówzopisemoś/kąt.Mającdanąmacierzrotacji(1.21),(1.23),
możnazdefiniowaćnastępującykwaternionreprezentującytęrotację:
Q1{cos(0/2)9ksin(0/2)}.
(1.41)
