Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
30
10Opisstrukturymanipulatora
Wpowyższymwzorze0jestkątem,akwektoremjednostkowymosiobrotu,tworząone
reprezentacjęoś/kątrotacji.Łatwozauważyć,że
"Q"1cos2(0/2)+"k"sin2(0/2)1cos2(0/2)+sin2(0/2)119
czyliQjestkwaternionemjednostkowym.
(1.42)
Związekkwaternionówzmacierząrotacji.Napodstawieskładowychn,81,82oraz83
kwaternionujednostkowegoQ1{n96}możemywyznaczyćodpowiadającąmumacierz
rotacjiR.Maonanastępującąpostać:
R1
f
|
2(n2+82
2(81821n83)
1)11
2(n2+82
2(8182+n83)
2)11
2(81831n82)
2(8283+n81)
]
|
.
L
2(8183+n82)
2(82831n81)
2(n2+82
3)11
J
(1.43)
Szczegóływyprowadzeniatejmacierzymożnaznaleźćwpracy[154].
ZałożywszyzkoleiznajomośćmacierzyR,możnawyznaczyćskładowen,81,82,83
reprezentacjikwaternionowejrotacji.Wzwiązkuztymzauważmy,że
n21
tr(R)+1
4
9
(1.44)
przyczymtr(R)1Σ
riiioznaczaśladmacierzyR,ariisąelementaminadiagonali
i
macierzyR(wzór(1.24).Zkoleimożnanapisać,że
82
i1
rii
2
1
tr(R)11
4
9
i119293.
(1.45)
Zwróćmyuwagę,żewewzorach(1.44),(1.45)niemapunktówosobliwych,coniestety
występujeprzyzastosowaniukątówEuleralubreprezentacjioś/kąt.
1.3.Transformacjejednorodne
Wrozdziale1.1omówionopołożenieiorientacjębryłysztywnej,opisującewpełnijej
lokalizacjęwprzestrzenikartezjańskiej.Narysunku1.6przedstawionopunktP,opi-
sanywdwóchróżnychukładachwspółrzędnych.Wukładziex0y0z0jestonopisanyza
pomocąwektoraI0,awukładziex1y1z1—zapomocąwektoraI1.WektorO0
1określa
położeniepoczątkuukładuwspółrzędnychx1y1z1względemukładux0y0z0,aR0
1jestma-
cierząrotacjiopisującąorientacjęukładux1y1z1względemx0y0z0.Wektorypołożenia
punktuPwzględemdwóchróżnychukładówwspółrzędnychsązwiązanezależnością:
I01O0
1+R0
1I19
(1.46)
określającąprzekształcenieskładowychwektoramiędzytymiukładami.
Odwrotneprzekształceniemożnaotrzymać,mnożąclewostronniepowyższązależ-
nośćprzez(R0
1)T:
I111(R0
1)TO0
1+(R0
1)TI011R1
0O0
1+R1
0I0.
(1.47)
