Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
2030Złączaholonomiczneinieholonomiczne
45
Zkoleiprzejdziemydoanalizyprędkościuogólnionychzłącza.Wznakomitejwięk-
szościprostychprzypadkówprędkościuogólnionesąwprostpochodnymizmiennych
konfiguracyjnychopisującychzłącza.Wpraktyceprowadzitododosyćskompliko-
wanychrównańruchu.Abyuniknąćtychtrudności,lepiejjestzastosowaćtzw.quasi-
prędkości,któresąpochodnymiquasi-współrzędnych.Jakoprzykładrozpatrzmyruch
swobodnybryłysztywnejwprzestrzenikartezjańskiej.Załóżmy,żewspółrzędnymikon-
figuracyjnymidlareprezentacjisąkątyEulera.Jeżeliterazposłużymysiępochodnymi
kątówEulerajakowspółrzędnymiprędkości,tootrzymamybardzoskomplikowanerów-
nanieruchubryłysztywnej.Wykorzystaniewtymprzypadkuprzestrzennychprędkości
jakowspółrzędnychuogólnionychprędkości(mamytutajnamyślitrzyprędkościką-
towebryłysztywnej)prowadzidoznacznieprostszychrównańruchubryłysztywnej.
Niestety,wrozważanymprzypadkutakwybraneprędkościniesącałkowalne,chociaż
ichzwiązekzprędkościamiprzestrzennymijestwwieluprzypadkachbardzoprosty.
Omówimytobardziejszczegółowoprzyanaliziejakobianugeometrycznegoianali-
tycznego.Istniejezatemzwiązekmiędzypochodnąwspółrzędnychkonfiguracyjnycha
współrzędnymiuogólnionymiprzezdwukierunkoweodwzorowanie.Całkowanierów-
nańkinematykipozwalawprostnaznalezieniewspółrzędnychkonfiguracyjnychbryły
sztywnej.Wogólności,liczbastopniswobodyzwiązanychzprędkościązłączarUspełnia
nierównośćrU<rp,przyczymrpjestliczbąstopniswobodyzłącza.
Biorącpoduwagępowyższespostrzeżenia,przejdziemydoopisuilościowegoogra-
niczeńzwiązanychzopisemzłącza.Zakładamy,żezłączejestopisanezapomocą61rp
holonomicznychorazrp1rUnieholonomicznychograniczeńmiędzydwomabryłami
sztywnymi.Spróbujemyterazopisaćwsposóbsystematycznyrównaniekinematyczne
takiegozłącza.Oznaczmyprzezλ∈R6wektoropisującyzmiennekonfiguracyjnebada-
negozłącza,aprzezVrwzględnąprędkośćprzestrzennązwiązanązprzejściamiprzez
badanezłącze.Wtedyistniejeprzekształcenie(wogólnościodwracalne)Z(λ)∈R6×6
takie,żezachodzinastępująceodwzorowaniekinematyczne:
λ1Z(λ)Vr.
˙
(2.20)
PrzekształcenieZ(λ)jestzatemodwzorowaniemprędkościzmianwspółrzędnych
konfiguracyjnychzłączaiwzględnejprędkościcharakteryzującejzłącze.Ograniczenia
holonomicznezapiszemywpostacirównanianieliniowegozwiązanegozewspółrzęd-
nymikonfiguracyjnymiλwpostaci:
g(λ9t)109
przyczym
g(l9t):R6ąR61rp.
(2.21)
Ponieważograniczeniaholonomicznesąbezpośredniozależneodwspółrzędnych
konfiguracyjnych,tomożnazałożyć,żesąonecałkowalne.Zuwaginaholonomiczne
ograniczeniazwiązanezezłączemjestonoscharakteryzowaneprzezrpzmiennychkon-
figuracyjnychbędącychjednocześniestopniamiswobodyzłącza.Załóżmy,żeqjest
wektoremrp-wymiarowymopisującymstopnieswobody(współrzędneuogólnione)złą-
cza.Zwektoremtymjestzwiązaneprzekształcenieh(l9t):RrpąR6wynikające
ztwierdzeniaofunkcjiuwikłanejtakiej,że
λ1h(q9t).
(2.22)
