Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
44
2.Czteryważnerównanialiniowe
Uwaga.Jeślin=2,tofunkcja(x)=–1
2πlog|x|niejestograniczonadla|x|→∞,
więcfunkcjaxl→∫
R2(x–y)f(y)dyniemusibyćograniczona.
Π
e.Analityczność
Podamyterazsubtelniejsząwersjętwierdzenia6:
TWIERDZENIE10(Analityczność).Załóżmy,żeujestharmonicznawU.Wówczas
ujestanalitycznawU.
Dowód.1.Ustalmydowolnypunktx0∈U.Musimywykazać,żewpewnymotoczeniu
punktux0funkcjaujestsumązbieżnegoszeregupotęgowego.
Niechr:=1
4dist(x0,∂U).WtedyM:=
α(n)rnuL1(B(x
1
0,2r))<∞.
2.PonieważB(x,r)⊂B(x0,2r)⊂Udlawszystkichx∈B(x0,r),więcztwier-
dzenia7otrzymujemynierówność
DαuL∞(B(x
0,r))≤M
2n+1n
r
|α|
|α||α|.
k+1
ZewzoruStirlinga(patrznp.[RD,§8.22])wynika,żelimk→∞
k
k!ek=
2
(2π)1/2.Zatem
1
|α||α|≤Ce|α||α|!
dlapewnejstałejCiwszystkichwielowskaźnikówα.Ponadto
nk=(1+...+1)k=Σ
|α|=k
|α|!
α!
;
astąd
|α|!≤n|α|α!.
Łącząctrzypowyższenierówności,otrzymujemy
(22)
DαuL∞(B(x
0,r))≤CM
2n+1n2e
r
|α|
α!.
3.SzeregTaylorafunkcjiuośrodkux0mapostać
Σ
α
Dαu(x0)
α!
(x–x0)
α
(sumowanierozciągasięnawszystkiewielowskaźniki).Twierdzimy,żetenszeregpotę-
gowyjestzbieżny,gdy
(23)
|x–x0|<
2n+2n3e
r
.