Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
Abysięotymprzekonać,obliczmydlakażdegoNresztę:
RN(x):=u(x)–
N–1
Σ
k=0
|α|=k
Σ
Dαu(x0)(x–x0)α
α!
=Σ
|α|=N
Dαu(x0+t(x–x0))(x–x0)α
α!
45
dlapewnejliczbyt∈[0,1],która(naogół)zależyodx.Dowodzimytejrówności,
wypisującpierwszychNwyrazówiresztęwrozwinięciuMacLaurinafunkcjig(t):=
u(x0+t(x–x0))jednejzmiennejt,anastępniekładąct=1.Stosując(22)i(23),
szacujemy
|RN(x)|≤CMΣ
|α|=N
2n+1n2e
r
N
(
2n+2n3e)
r
N
≤CMnN
(2n)N
1
=
CM
2N
→0
dlaN→∞.
Π
Więcejinformacjiofunkcjachanalitycznychirównaniachróżniczkowychcząstko-
wychznajdzieczytelnikwpunkcie4.6.2.
f.NierównośćHarnacka
Przypomnijmy(por.dodatekA.2),żezapisV⊂⊂Uoznacza,iżV⊂¯
V⊂Ui¯
V
jestzbioremzwartym.
TWIERDZENIE11(NierównośćHarnacka).Dlakażdegospójnegozbioruotwartego
V⊂⊂U,istniejestałaC,zależnajedynie1odVitaka,że
sup
V
u≤Cinf
V
u
dlawszystkichnieujemnychfunkcjiuharmonicznychwU.
Zatemwszczególności
C
1
u(y)≤u(x)≤Cu(y)
dlawszystkichpunktówx,y∈V.Tenierównościoznaczają,żewszystkiewartości,
jakienieujemnafunkcjaharmonicznaprzyjmujewewnątrzV,sąporównywalne:umoże
byćbardzomała(albobardzoduża)wpewnympunkciezbioruVjedyniewtedy,gdy
jestbardzomała(albobardzoduża)wcałymzbiorzeV.Otointuicyjnewyjaśnienie:
1StałaCzależywistocietakżeodUiodwymiarun(przyp.tłum.).