Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
48
2.Czteryważnerównanialiniowe
jestpochodnąnormalnązewnętrznąfunkcjiGwzględemzmiennejy.Zauważmy,że
pochodnanormalna∂u/∂vzniknęłazrównania(28):poprawkęφxwprowadziliśmy
właśniewtymcelu.
Przypuśćmyteraz,żeu∈C2(¯
U)jestrozwiązaniemzagadnieniabrzegowego
(29)
–∆u=fwU,
u=g
na∂U,
gdziefigsądanymifunkcjamiciągłymi.Wstawiającdanefigdowzoru(28),
otrzymujemy
TWIERDZENIE12(ReprezentacjarozwiązańzapomocąfunkcjiGreena).Jeśliu∈
C2(¯
U)jestrozwiązaniemzagadnienia(29),to
(30)
u(x)=–∫
∂U
g(y)
∂G
∂v
(x,y)dS(y)+∫
U
f(y)G(x,y)dy
(x∈U).
Mamywięcwzórnarozwiązaniezagadnieniabrzegowego(29),przyzałożeniu,że
dladanegoobszaruUpotrafimyskonstruowaćfunkcjęGreena.Jesttonaogółtrudne
zadanie,któremożnarozwiązaćjedyniewtedy,gdygeometriaUniejestskomplikowana.
Dalejwskażemypewneprzypadkiszczególne,wktórychfunkcjęGmożnawyznaczyć
jawnymwzorem.
Uwaga.Ustalmyx∈U.TraktującGjakofunkcjęzmiennejy,możemyzapisaćsym-
bolicznie
–∆G=δx
G=0
wU,
na∂U,
gdzieδxoznaczamiaręDiracaskupionąwpunkciex.
Π
Zanimprzejdziemydokonkretnychprzykładów,odnotujmyogólnąwłasnośćfunkcji
Greena:jejsymetrięwzględemzmiennychxiy.
TWIERDZENIE13(SymetriafunkcjiGreena).Dlawszystkichx,y∈U,x/=y,
zachodzirówność
G(y,x)=G(x,y).
Dowód.Ustalmyx,y∈U,x/=y.Połóżmy
v(z):=G(x,z),w(z):=G(y,z)
(z∈U).
Wtedy∆v(z)=0(z/=x),∆w(z)=0(z/=y)iw=v=0na∂U.Stosując
dladostateczniemałegoe>0wzórGreenanaobszarzeV:=U–[B(x,e)∪B(y,e)],
otrzymujemy
(31)
∫
∂B(x,e)
∂v
∂v
w–
∂w
∂v
vdS(z)=∫
∂B(y,e)
∂w
∂v
v–
∂v
∂v
wdS(z),
