Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
47
dlae→0.Ponadto,zrachunkuprzeprowadzonegowdowodzietwierdzenia1wynika,
że
∫
∂B(x,e)
u(y)
∂
∂v
(y–x)dS(y)=–
∫
∂B(x,e)
u(y)dS(y)→u(x)
dlae→0.Zatem,wykonującprzejściegranicznee→0wrówności(24),otrzymujemy
wzór:
u(x)=∫
∂U
(y–x)
∂u
∂v
(y)–u(y)
∂
∂v
(y–x)dS(y)
(25)
–∫
U
(y–x)∆u(y)dy.
Tatożsamośćzachodzidladowolnegopunktux∈Uidowolnejfunkcjiu∈C2(¯
U).
Wzór(25)pozwalałbynamwyznaczyću(x),gdybyśmyznaliwartości∆uwewnątrz
Uiwartościu,∂u/∂vnabrzegu∂U.Jednakżewrozważanymzagadnieniubrzego-
wymdlarównaniaPoissonawartościpochodnejnormalnej∂u/∂vna∂Uniesąznane.2
Musimyzatemwjakiśsposóbzmodyfikowaćwzór(25),pozbywającsięskładnikaz
∂u/∂v.
Pomysłpoleganatym,bydlaustalonegoxwprowadzićpoprawkęφx=φx(y),
któraspełniazagadnieniebrzegowe:
∆φ
φx=(y–x)
x=0
wU,
na∂U.
ZastosujmywzórGreenaponownie,abystwierdzić,że
–∫
U
φx(y)∆u(y)dy=∫
∂U
u(y)
∂φx
∂v
(y)–φx(y)
∂u
∂v
(y)dS(y)
(27)
=∫
∂U
u(y)
∂φx
∂v
(y)–(y–x)
∂u
∂v
(y)dS(y).
Wprowadzimyteraznastępująceokreślenie.
(26)
DEFINICJA.FunkcjąGreenadlaobszaruUjest
G(x,y):=(y–x)–φx(y)
(x,y∈U,x/=y).
Przyjmująctęterminologięidodając(27)do(25),przekonujemysię,że
(28)
u(x)=–∫
∂U
u(y)
∂G
∂v
(x,y)dS(y)–∫
U
G(x,y)∆u(y)dy
(x∈U),
gdzie
∂G
∂v
(x,y)=DyG(x,y)·ν(y)
2Cowięcej,ztwierdzenia5wynika,żejeśliznanesąwartościfunkcjinabrzeguobszaru,towartości
pochodnejnormalnejzpewnościąniemożnazadaćwsposóbdowolny!(przyp.tłum.).
