Treść książki
Przejdź do opcji czytnikaPrzejdź do nawigacjiPrzejdź do informacjiPrzejdź do stopki
L.C.Evans,Równaniaró
Ż
niczkowecz
ą
stkowe,Warszawa2008
ISBN978-83-01-15627-5,©byWNPWN2002
2.2.RównanieLaplace’a
49
gdzieνoznaczapolejednostkowychwektorównormalnychwewnętrznychnasferach
∂B(x,e)∪∂B(y,e).Funkcjawjestgładkawpobliżux;stąd
ł
ł∫
ł
ł
∂B(x,e)
∂w
∂v
vdS
ł
ł
ł
ł
≤Cen–1sup
∂B(x,e)
|v|=o(1)
dlae→0.
Zdrugiejstrony,v(z)=(z–x)–φx(z),aφxjestgładkawU.Zatem
e→0∫
lim
∂B(x,e)
∂v
∂v
wdS=lim
e→0∫
∂B(x,e)
∂
∂v
(x–z)w(z)dS=w(x),
namocytakiegorachunku,jakiprzeprowadziliśmywdowodzietwierdzenia1.Zatem
lewastronarówności(31)dążydow(x)dlae→0.Podobnieprawastronadążydo
v(y).Oznaczato,że
G(y,x)=w(x)=v(y)=G(x,y).
Π
b.FunkcjaGreenadlapółprzestrzeni
WtyminastępnympunkciezbudujemyfunkcjęGreenadladwóchobszarówopro-
stejgeometrii:dlapółprzestrzeniRn
+idlakulijednostkowejB(0,1).Kluczemdokon-
strukcjijestumiejętnośćwyrażeniajawnymwzorempoprawkiharmonicznejbędącej
rozwiązaniemzagadnienia(26);posłużymysięwtymcelukilkomasztuczkamigeome-
trycznymi,wykorzystującymisymetrię.
Napoczątekrozważmypółprzestrzeń
Rn
+={x=(x1,...,xn)∈R
n|xn>0}.
Choćjesttoobszarnieograniczony(awięcrozważaniazpunktuaniestosująsiędoń
bezpośrednio),spróbujemymimotoskonstruowaćfunkcjęGreena,posługującsięrozwi-
niętymiwcześniejmetodami.Późniejoczywiściebędziemymusielibezpośredniospraw-
dzić,żeuzyskanywzórnarozwiązaniezagadnieniaDirichletajestpoprawny.
DEFINICJA.Odbiciempunktux=(x1,...,xn–1,xn)∈Rn
+względempłaszczyzny
∂Rn
+nazywamypunkt
x=(x1,...,xn–1,–xn).
˜
Rozwiążemyzagadnienie(26)wpółprzestrzeni,kładąc
φx(y):=(y–˜
x)=(y1–x1,...,yn–1–xn–1,yn+xn)
(x,y∈Rn
+).
Pomysłjestprosty:poprawkęφxtworzymywprostz,„odbijającosobliwość”zpunktu
x∈Rn
+do˜
x/
∈Rn
+.Zauważmy,że
φx(y)=(y–x)
dlay∈∂Rn
+,
awięc
∆φx=0
φx=(y–x)
wRn
na∂Rn
+,
+,
zgodniez(26).
